线性代数学习笔记10-2：特征值分解EVD/奇异值分解SVD的几何意义

前置知识

• 矩阵对应于线性变换，并且要明确讨论所依赖的基（坐标系）：同一个变换，在不同的基下对应的矩阵不同
  具体来说，矩阵中的列向量对应了基变换，而基的变换造成了原空间中所有向量的变换
• $\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$，$\mathbf{B}$本质上是与$\mathbf{A}$相同的变换，只不过是同一种变换在不同坐标系下的表现（理解为在另一坐标系下施加变换，然后再还原到之前的坐标系）

特征值分解EVD

特征值分解的前提：矩阵是方阵！

特征值分解EVD/相似对角化，表示为$$\mathbf{A}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{\Lambda }\mathbf{P}$$
特征向量给出了：在某个线性变换中，仅受拉伸/压缩的向量（伸缩倍数为特征值）

可见，特征值分解EVD/相似对角化的几何意义是：

• 对于线性变换$\mathbf{A}$，找到了一组特殊的基，在这组基（坐标系）下，该线性变换表示为对角阵$\mathbf{\Lambda }$（相当于只是将各个基向量做伸缩）
  或者说，从原坐标系变换到（以特征向量为基的）新坐标系，线性变换在这个坐标系下表示为“对角矩阵”（对角矩阵的好处：对应的线性变换只是将各个基向量做伸缩，计算方便）

特征值分解的理解

• 角度一：在另一坐标系下的等效线性变换，可分解为三步：基变换、在另一组基下的空间变换、反向的基变换
• 角度二：将一个线性变换，分解为三次连续的线性变换：$\mathbf{P}$、$\mathbf{\Lambda }$、${\mathbf{P}}^{-1}$

奇异值分解SVD

特征值分解的前提较严格：矩阵必须为方阵，且能够相似对角化（有n个线性无关的特征向量/为实对称矩阵）
一个简单的例子是，剪切变换由于只有“一个”特征向量，不能张成这个二维平面，无法进行特征值分解
SVD则适用于一般的矩阵

$$\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^T$$
其中，$\mathbf{U}$和$\mathbf{V}$为正交矩阵，$\mathbf{\Sigma }$为对角矩阵（元素为非负实数）

类似特征值分解EVD，奇异值分解SVD目的是：
找一组特殊的基，在这组基（坐标系）下，线性变换能够被拆分为旋转、缩放、投影三种基本的简单变换

• 投影：由于不是方阵，而是m x n矩阵，一定存在高维到低维的映射
• 旋转：旋转对应的矩阵是正交矩阵，因此在SVD中，基变换过程要用到正交矩阵
• 缩放：两次基变换中间的基向量的缩放

最终，线性变换被分解为三步：简单旋转、缩放、简单旋转

如图，向量$\mathbf{x}$经过线性变换$\mathbf{A}$后得到$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^T\mathbf{x}$：
①${\mathbf{V}}^T$将其旋转为${\mathbf{V}}^T\mathbf{x}$ [将单位正交向量v1、v2旋转到水平和垂直方向]
②$\mathbf{\Sigma }$缩放了坐标系的基向量，将向量对应变为$\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^T\mathbf{x}$
③$\mathbf{U}$将其旋转为$\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^T\mathbf{x}$ [将放缩后的向量旋转到最终位置]

对奇异值分解的理解

角度一：将一个线性变换，分解为三次连续的变换

${\mathbf{V}}^H$、$\mathbf{\Sigma }$、$\mathbf{U}$，分别对应了简单旋转、缩放、简单旋转
ps. 正交矩阵的作用都是旋转矩阵

角度二：将SVD一种特殊的特征值分解

• 特征值分解为$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1}$；
• 奇异值分解为$\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^{\mathbf{H}}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^{-1}$；

对比可知，奇异值分解可视为特征值分解：$$\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^T=\mathbf{V}(\mathbf{E}\mathbf{\Sigma }){\mathbf{V}}^{\mathbf{T}}=\mathbf{V}\mathbf{Q}{\mathbf{V}}^{-1}$$变换$\mathbf{Q}=\mathbf{E}\mathbf{\Sigma }$（包含伸缩$\mathbf{\Sigma }$和旋转$\mathbf{E}$），而我们把左侧的$\mathbf{V}\mathbf{E}$合并为$\mathbf{U}$，最终就得到SVD

由上可见，奇异值分解与特征值分解，关键区别在于多了一个旋转的变换；
（另外若空间维度发生了变化，还包括投影的变换）

角度三：从映射角度理解

线性变换$\mathbf{A}$，将向量$\mathbf{x}$映射为向量$\mathbf{A}\mathbf{x}$，即：原空间映射到像空间

• 奇异值分解的几何意义：在原空间与像空间中分别找到一组标准正交基，把原空间中第$i$个基向量，映射为像空间的第$i$个基向量的非负倍向量，或映射为零向量
• 上面的话，隐含了维度变换的投影；也隐含了旋转的变换（原空间与像空间中都是正交基，但是其指向如果不同，就对应于旋转）

EVD和SVD的对比

特征值和奇异值都可用于分解矩阵，但它们有如下区别：
（两者关系的基本讨论见前文，这里简要总结）
从 相似对角化 的角度：

• 特征值分解是将特征向量作为新的基向量，在新的坐标系下进行伸缩，完成同一个线性变换
• 奇异值分解是将标准正交基作为新的基向量，在新的坐标系下进行伸缩+旋转（可能还包含投影），完成同一个线性变换

无法进行特征值分解，正是因为线性变换包含旋转，导致不存在只被简单缩放的向量，即找不到特征向量

从适用范围上：

• 特征值分解只能用于方阵，对应于从空间到空间自身的映射
• 奇异值分解用于m x n的矩阵/或奇异矩阵（不可逆的方阵），对应从一个空间到另一个空间的映射（降维）

从几何直观上：

“作用”的概念：几何上简单理解为对向量的旋转和拉伸

• 特征向量是变换后仅受缩放的向量/不变作用的向量（如左图，变换后方向一定不变）
• 奇异向量是变换后拉伸效果最大的向量/最大作用的向量（如右图，变换后方向可能改变，但在所有向量中，受到了最大程度的拉伸）
  

reference:矩阵分析(二)：从特征值到奇异值、奇异值与特征值辨析
扩展：特征值分解（EVD）、相似对角化、QR分解、Schur分解、奇异值分解（SVD）详解