概率论的基础概念（1）

重点讲述：
首先，最重要的前提：
（1）随机试验（大量（无穷次）重复试验）是概率论的基础！！！
（2）随机变量是不确定的，未知的，概率论研究的是随机变量可能的取值和相应值的概率！！！（如相关特性，期望和方差等）
（3）随机试验的结果对应随机变量的取值，取值的概率是无穷次随机试验中随机变量取得该值的频率。
（4）离散型随机变量的取值在点上，所以讨论某点的概率，连续型随机变量的取值在线上，所以讨论某区间的概率（随机变量的分布函数），或某点附近(dx)的概率密度（随机变量的概率密度）。
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后面我们将知道，这种描述等同于伯努利大数定理，即：
极限定理是概率论的基本理论，包括“大数定律”和“中心极限定理”。
设fA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意实数ε>0，有
伯努利大数定理的结果表明，对于任意ε>0，只要重复独立试验的次数n充分大，事件|fA/n-p|<ε实际上几乎是必定要发生的，事件“频率fA/n与概率p的偏差小于ε”实际上几乎是必定要发生的，这就是频率稳定性的真正含义。由实际推断原理，当试验次数很大时，便可以用事件的频率来代替事件的概率（即统计规律性）。

正文：
随机现象与统计规律性
在自然界中存在一类现象，例如，在相同条件下抛同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且每次抛掷前无法肯定抛掷的结果是什么（离散型随机现象）；用同一门炮向同一目标射击，各次的弹着点不尽相同，在一次射击之前无法确定弹着点的位置（连续性随机现象）。
然而，在大量重复试验中，如多次重复抛一枚硬币得到正面朝上的次数大致有一半，同一门炮射击同一目标的弹着点也按照一定规律分布。即大量重复试验中结果具有统计规律性，称之为“随机现象”。

1随机试验
随机试验满足的条件：
（1）可以在相同的条件下重复的进行；
（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；
（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
随机现象通过随机试验来研究。

2样本空间、随机事件
对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的。随机试验E的所有可能结果组成的集合称为随机试验E的样本空间，记为S。样本空间S的元素称为样本点。
试验E的样本空间S的子集为E的随机事件。在每次试验中，当且仅当这一子集的一个样本点出现时，称这一事件发生。

• 样本空间S：随机试验E的所有可能结果集合
• 随机事件：样本空间S的子集

3频率与概率
频率是有限次数（n次）试验，事件A发生的次数是nA，则事件A的频率为nA/n。
概率是可能性大小，当试验次数n趋于无穷时，频率收敛于概率。（可理解为大量重复试验中事件A发生次数所占比例）。

4条件概率
A已发生条件下事件B发生的概率。
（1）乘法定理

                   P(AB)=P(B|A)P(A)

（2）全概率公式和贝叶斯估计
全概率公式：
在很多实际问题中P(A)不易直接求得，但却容易找到S的一个划分B1,B2,…,Bn，且P(Bi)和P(A|Bi)或为已知，或容易求得，就可以根据全概率公式求得P(A)。

         P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)

设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一个划分（B1,B2,…,Bn相互间无交集，全体并集为样本空间S）

贝叶斯公式：
由先验概率求后验概率，详细的说就是由先验概率，似然函数，全概率公式求出后验概率

对离散型随机变量，在点上取得概率值。
对连续性随机变量，在段上取得概率值。
一维连续分布：线上无数散点模型（即大量重复试验的结果分布）
连续变量的可能取值落在线上，概率密度与线密度类似，求概率 密度从定义出发，即f(x)=P(x
二维连续分布：面上无数散点模型（同上，大量重复试验的结果分布）
一次试验结果可以有不同属性（如元件由哪个制造厂制造，是否为良品）
多维随机变量的概率相乘，概率的层次关系，一个随机变量是一层，