图像中常见变换类型辨析

  在图像处理过程中，经常涉及许多关于图像变换的概念，比如：刚体变换、欧式变换、相似变换、仿射变换、透视变换等等，但他们之间的关系和区别经常混淆。因此本文简单的介绍和辨析一下这几种变换的区别与联系，帮助自己的理解和记忆。如有纰漏，望请指出。

1. 刚体变换（Rigid Transformation）

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & t_x\\ \sin \theta & \cos \theta & t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$
刚体变换也叫刚性变换、欧式变换，是最基础的变换形式。其中$R$表示旋转矩阵，是一个正交阵$R{R}^T=I$，$t$表示平移向量。

• 变换形式：旋转和平移
• 自由度：三个自由度（一个旋转角$\theta$，两个平移向量$t_x,t_y$）
• 求解方式：需要两组点，四个方程求解
• 不变量：长度、角度、面积

2. 等距变换（Isometric Transformation）

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}ϵ\cos \theta & -\sin \theta & t_x\\ ϵ\sin \theta & \cos \theta & t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right],ϵ=\pm 1$$
等距变换前后两点之间的距离不变。$ϵ=1$时，等距变换就等价于刚性变换、欧式变换，是保向的；$ϵ=-1$时，是逆向的，表示关于$Y$轴对称的反射变换。

• 变换形式：$ϵ=1$时，旋转和平移；$ϵ=-1$时，旋转、平移和反射（对称）
• 自由度：三个自由度（一个旋转角$\theta$，两个平移向量$t_x,t_y$）
• 求解方式：需要两组点，四个方程求解
• 不变量：长度、角度、面积

3. 相似变换（Similar Transformation）

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}sR& t\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}s\cos \theta & -s\sin \theta & t_x\\ s\sin \theta & s\cos \theta & t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$
相似变换是在刚性变换的基础上增加一个均匀放缩系数$s$。

• 变换形式：旋转、平移、放缩
• 自由度：四个自由度（一个旋转角$\theta$，两个平移向量$t_x,t_y$，一个放缩系数$s$）
• 求解方式：需要两组点，四个方程求解
• 不变量：角度、长度的比例和面积比例

4. 线性变换（Linear Transformation）

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& 0\\ a_{21}& a_{22}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$
线性变换要求变换前后的直线仍是直线，且直线之间的比例保持不变。

• 变换形式：旋转、放缩、反射（对称）、倾斜（错切）
• 自由度：四个自由度（四个线性变换元素$a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}$）
• 求解方式：需要两组点，四个方程求解
• 不变量：长度的比例和面积比例

5. 仿射变换（Affine Transformation）

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& t\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& t_x\\ a_{21}& a_{22}& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$
仿射变换是线性变换和平移变换的组合，能够保持二维图形的“平直性”和“平行性”，但是角度会改变。$A$表示仿射矩阵。

“平直性”：变换后直线还是直线、圆弧还是圆弧
“平行性”：平行线还是平行线，直线上点的位置顺序不变

• 变换形式：旋转、平移、放缩、反射（对称）、倾斜（错切）
• 自由度：六个自由度（四个仿射矩阵元素$a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}$，两个平移向量$t_x,t_y$）
• 求解方式：需要三组点，六个方程求解
• 不变量：平行线，平行线所分割线段长度的比例和面积的比例

5. 透视变换（Perspective Transformation）

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& t\\ v& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& t_x\\ a_{21}& a_{22}& t_y\\ v_1& v_2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$
透视变换也叫做射影变换（Projection Transformation），是将图像投影到一个新的视平面。其中$v$用于产生图像透视变换。

• 变换形式：旋转、平移、放缩、反射（对称）、倾斜（错切）、透视
• 自由度：八个自由度（四个仿射矩阵元素$a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}$，两个平移向量$t_x,t_y$、两个透视变换元素$v_1,v_2$）
• 求解方式：需要四组点，八个方程求解
• 不变量：长度的交比