似然函数学习笔记

定义：

在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。似然性，是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物之性质的参数进行估值。
我们可以反过来构造表示似然性的方法：已知有事件A发生，运用似然函数$L(B|A)$，我们估计参数B的可能性。形式上，似然函数也是一种条件概率，但我们关注的变量改变了：
$b\mapsto P(A\mid B=b)$
这里并不要求似然函数满足归一性：${\sum }_{b\in \mathcal{B}}P(A\mid B=b)=1$。一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对于所有$\alpha >0$，都可以有似然函数：
$$L(b|A)=\alpha P(A|B=b)$$

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例子：

考虑投掷一枚硬币的实验。通常来说，已知掷出一枚“公平的硬币”（正面朝上和反面朝上的概率都为0.5）, 即正面(Head)朝上的概率为$p_H=0.5$，便可以知道投掷若干次后出现各种结果的可能性。

比如说，投两次都是正面朝上的概率是0.25。用条件概率表示，就是：
$$P(HH|p_H=0.5)=0.5^2=0.25$$
其中H表示正面朝上。
如果一个硬币的质量分布不够均匀, 那么它可能是一枚"非公平的硬币"

在统计学中，我们关心的是在已知一系列投掷的结果时，关于硬币投掷时正面朝上的可能性的信息。
我们可以建立一个统计模型：假设硬币投出时会有$p_H$的概率正面朝上，而有$1-p_H$的概率反面朝上。
这时，通过观察已发生的两次投掷，条件概率可以改写成似然函数：
$$L(p_H|HH)=P(HH|p_H=0.5)=0.25$$
也就是说，对于取定的似然函数，在观测到两次投掷都是正面朝上时，$p_H=0.5的似然性是0.25$.但反之并不一定成立，即当似然函数为0.25时不能推断出$p_H=0.5$.
如果考虑$p_H=0.6$，那么似然函数的值也会改变。
$$L(p_H|HH)=P(HH|p_H=0.6)=0.36$$，
注意到似然函数的值变大了。
这说明，如果参数$p_H$的取值变成0.6的话，结果观测到连续两次正面朝上的概率要比假设$p_H=0.5$时更大。也就是说，参数$p_H$取成0.6要比取成0.5更有说服力，更为“合理”。
总之，似然函数的重要性不是它的具体取值，而是当参数变化时函数到底变小还是变大。

对同一个似然函数，其所代表的模型中，某项参数值具有多种可能，但如果存在一个参数值，使得它的函数值达到最大的话，那么这个值就是该项参数最为“合理”的参数值。

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最大似然估计

最大似然估计是似然函数最初也是最自然的应用。上文已经提到，似然函数取得最大值表示相应的参数能够使得统计模型最为合理。从这样一个想法出发，最大似然估计的做法是：首先选取似然函数（一般是概率密度函数或概率质量函数），整理之后求最大值点。实际应用中一般会取似然函数的对数作为求最大值的函数。似然函数的最大值点不一定唯一，也不一定存在。