特征值分解用于数据压缩（matlab实现）

特征值与特征向量的定义：

Ax=λx

特征值与特征向量的理解1——简化运算：

A作用于特征向量x的效果只是起到了λ倍的缩放效果，Ax将矩阵运算简化成了代数运算λx，也就是说特征值代表了缩放倍数，特征向量代表了方向

特征值与特征向量的理解2——线性变换：

将A看作线性变换（线性变换包含平移、旋转、缩放），Ab=c代表向量b在A的作用（线性变换）下转换为向量c，具体来说是将b在A的各个特征向量xi的方向上进行了对应的特征值λi倍数的缩放

例

 

b在A的作用下，向特征值大的方向拉伸的倍数更大，拉伸后，在x轴=（1，0）方向上的投影远远大于y轴=（0，1）方向上的投影，认为此时x轴方向上反映了向量c更多的信息

推广到n维矩阵A，那么就是向着A的n个特征向量方向进行拉伸

特征值与特征向量的应用：

由于拉伸的倍数受到特征值大小的调控，那么在进行数据压缩的时候，只保留特征值大的方向上的投影（如上例中只保留x轴方向上的投影，舍去y轴方向上的投影），这样就在损失小部分信息的情况下，完成了数据的压缩

使用特征值分解用于图像压缩：

对于nxn的方阵，可以使用特征值分解对其进行数据压缩，通过保留前k大的特征值实现

function myeigs

data = im2double(imread('data.jpg'));       %读取图片
data = ((data-min(min(data)))/(max(max(data))-min(min(data))))*250;     %将灰度值调整到0-250
imshow(uint8(data));       %显示原始图像
title('原始图像');

[V,D] = eig(data);      %求矩阵的特征值和特征向量

%保留不同个数的奇异值
D_50 = D;
D_50(51:end,:) = 0;     %将从第51大的特征值置0

D_100 = D;
D_100(101:end,:) = 0;       %将从第101大的特征值置0

D_200 = D;   
D_200(201:end,:) = 0;     %将从第201大的特征值置0

data_50 = V*D_50*V^(-1);
imshow(uint8(data_50));        %显示保留最大的50个特征值的图像
title('由前50大的特征值重建的图像');

data_100 = V*D_100*V^(-1);
imshow(uint8(data_100));        %显示保留最大的100个特征值的图像
title('由前100大的特征值重建的图像');

data_200 = V*D_200*V^(-1);
imshow(uint8(data_200));       %显示保留最大的200个特征值的图像
title('由前200大的特征值重建的图像');

end

随着保留的特征值的增加，图像保留的信息增多，重建的质量越来越好