谈谈距离度量方式：欧氏距离与余弦距离

前因

在机器学习/深度学习的很多任务中，我们通常会面临着两个样本之间相似度的比较。通常常用的两种度量方式为欧氏距离与余弦距离，那么在什么时候用欧氏距离？什么时候用余弦相似度？他们之间的联系与区别在哪里呢？

探索

在机器学习当中，通常以一组向量来表示样本

如上图所示，欧式距离是通过勾股定理来计算两个向量之间的距离：

余弦距离是计算两个向量之间夹角的余弦值：

通常用1-D(x,y)来表示余弦相似度。

分析：

首先谈谈区别，欧氏距离的范围是不确定的(没有经过归一化)，得到的值可能很大(最小为0)，值越大表示样本之间越不相似，直观上的理解就是度量两个向量点之间的绝对距离（用一根绳子去连接两个点，这根绳子的长度就是欧式距离）。而余弦距离不考虑向量大小，只关注角度关系，取值范围[-1,1]，当两个向量方向完全一致时取1，完全相反时取-1。可以这么说，欧氏距离体现数值上的绝对差异，而余弦距离体现方向上的相对差异。

接下来谈谈两者的缺点与应用场景，欧氏距离尝尝收到维度诅咒，当研究对象的维度很高时(通常深度网络输出一个高维向量)会受到影响，导致范围不固定，含义也比较模糊。余弦距离虽然没有受到维度诅咒，但其并没有考虑到向量的大小，只考虑了方向。
所以，应用何种距离度量函数取决于具体的应用场景：当数据维度较低，或者向量的大小很重要时采用欧氏距离，比如在分析房价时，考虑小区绿化面积与房屋面积为特征，两个样本(1000,100)与(500,50)，若采用余弦距离会认为这两个房子价格较近，这肯定是不合理的。当数据维度较高（很难判断各维度之间的具体含义），或者为稀疏向量，又或者是更关于两者的相对差异时采用余弦距离：比如分析用户行为来构建推荐系统，A用户购买向量为(1,0)，B用户购买向量为(0,1)。

这里的应用限制不一定对，具体情况具体分析。比如，当维度高的时候，欧氏距离也可能效果更好。

最后谈谈它们的联系，如果我们将向量归一化后执行欧氏距离，其与余弦距离等价。公式证明见下：

来自参考链接[1]

这里通过画图可以更简单地理解，当向量执行归一化后变为单位向量，欧式距离就是求单位向量之间的距离，余弦距离求夹角的余弦值：

其中两个向量用红线表示，紫线表示它们之间的欧氏距离，cosΘ为余弦距离，由余弦定理可知，两者存在反比关系。

更多的度量方式见参考链接2

扩展

余弦距离是否是严格意义上的距离？

距离的定义：在一个集合中，如果每一对元素均可唯一确定一个实数，使得三条距离公理（正定性，对称性，三角不等式）成立，则该实数可称为这对元素之间的距离。

这里简单提一下，后续有时间再补充。余弦距离满足正定性和对称性，但是不满足三角不等式，因此它并不是严格 定义的距离。

参考

[1] 数据科学中常见的9种距离度量方法，内含欧氏距离、切比雪夫距离等
https://zhuanlan.zhihu.com/p/350744027
[2] 欧氏距离和余弦相似度的区别是什么？
https://www.zhihu.com/question/19640394/answer/207795500