动态规划经典题——石子合并
石子合并
- 题目信息
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- 路边玩法
- 操场玩法
- 问题分析
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- 路边玩法
- 操场玩法
- 算法设计
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- 路边玩法
- 操场玩法
- 完美图解（以路边玩法为例）
- 伪代码详解
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- 路边玩法
- 操场玩法
- 实战演练
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- 优化后代码
- 1274：【例9.18】合并石子
题目信息
路边玩法
有n堆石子放在路边一列,现在要将石子有序地合并成一堆，规定每次只能移动相邻的两堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费（最小或最大）
操场玩法
一个圆形操场周围摆放着n堆石子圆圈，现在要将石子有序地合并成一堆，规定每次只能移动相邻的两堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费（最小或最大）
问题分析
路边玩法
如果n-1次合并的全局最优解包含了每一次合并的子问题的最优解，那么经这样的n-1次合并后的花费总和必然是最优的。
操场玩法
如果把路边玩法看成石子合并问题，那么操场玩法就属于圆形石子合并问题。圆形石子合并经常转换为直线型来求。也就是说，把圆形结构看成是长度为原规模两倍的直线结构来处理，如果操场玩法的规模为n，所以相当于有一排石子 a1, a2, … an, a1, a2, …, an-1，该问题规模为2n-1。最后从规模是n的最优值找出最小值或最大值即可
算法设计
路边玩法
1. 确定合适的数据结构
采用一维数组 a[i]来记录第i堆石子的数量；
sum[i]来记录前i堆石子的总数量；
二维数组Min[i][j]、Max[i][j]来记录第i堆到第j堆石合并的最小和最大花费
2. 初始化
输入石子的堆数n，然后依次输入各堆石子的数量存储在a[i]中，
令Min[i][j]=0,Max[i][j]=0,sum[0]=0,计算sum[i].
3.循环阶段
按照递归式计算2堆石子合并{ai, a i+1}的最小和最大花费
依次类推，直到求出所有堆的最小和最大花费
4.构造最优解
Min[1][n]和Max[1][n]是n堆石子合并的最小和最大花费。
如果还想知道具体的合并顺序，需要在求解的过程中记录最优决策，然后逆向构造最优解，
可以使用类似矩阵连乘的构造方法，用括号来表达合并的先后顺序。
操场玩法
从规模为n的最优值M[1][n],Min[2][n+1],Min[3][n+2],,,Min[n][2n-1]
中找最小值作为圆形石子合并的最小花费。
最大值同理
完美图解（以路边玩法为例）
剩下的可以看趣学算法
伪代码详解
路边玩法
void straight(int a[], int n) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {//初始化
Min[i][i] = 0, Max[i][i] = 0;
}
sum[0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
}
for (int v = 2; v <= n; v++) {//枚举合并的堆数规模
for (int i = 1; i <= n - v + 1; i++) {//枚举起点
int j = i + v - 1; //枚举终点j
Min[i][j] = INF; //初始化最大值
Max[i][j] = -1; //初始化最小值
int tmp = sum[j] - sum[i - 1]; //记录i...j之间的石子数之和
for (int k = i; k < j; k++) {
Min[i][j] = min(Min[i][j], Min[i][k] + Min[k + 1][j] + tmp);
Max[i][j] = max(Max[i][j], Max[i][k] + Max[k + 1][j] + tmp);
}
}
}
}
操场玩法
void Circular(int a[], int n) {
for (int i = 1; i <= n-1; i++) {
a[n + i] = a[i]; //扩大规模
}
n = 2 * n - 1;
straight(a, n); //以2n-1的规模进行直线的运算
n = (n + 1) / 2; //最后只需要规模为N的最优解
minn = Min[1][n];
maxx = Max[1][n];
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (Min[i][n + i - 1] < minn) {
minn = Min[i][n + i - 1];
}
if (Max[i][n + i - 1] > maxx) {
maxx = Max[i][n + i - 1];
}
}
}
实战演练
#include优化后代码
#include1274：【例9.18】合并石子
这里用的是优化后的代码修改的，优化前的代码可能是时间复杂度的问题导致有两个测试点错误
#include