【14】 数学建模 | 主成分分析 | 数据降维后聚类、回归

一、主成分分析的原理

这篇文章将对主成分分析(Principal Component Analysis,PCA)进行复盘,主成分分析是一种降维算法,它能将多个指标转换为少数几个主成分,这些主成分是原始变量的线性组合,且彼此之间互不相关,其能反映出原始数据的大部分信息。一般来说,当研究的问题涉及到多变量且变量之间存在很强的相关性时,我们可考虑使用主成分分析的方法来对数据进行简化


二、问题的提出

在实际问题研究中,多变量问题是经常会遇到的。变量太多,无疑会增加分析问题的难度与复杂性,而且在许多实际问题中,多个变量之间是具有一定的相关关系的。因此,人们会很自然地想到,能否在相关分析的基础上,用较少的新变量代替原来较多的旧变量,而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量所反映的信息?事实上,这种想法是可以实现的,主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的工具。主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。从数学角度来看,这是一种降维处理技术


三、数据降维的作用

降维是将高维度的数据(指标太多)保留下最重要的一些特征,去除噪声和不重要的特征,从而实现提升数据处理速度的目的。在实际的生产和应用中,降维在一定的信息损失范围内,可以为我们节省大量的时间和成本。降维也成为应用非常广泛的数据预处理方法

降维具有如下一些优点:

  • 使得数据集更易使用
  • 降低算法的计算开销
  • 去除噪声
  • 使得结果容易理解

三、主成分分析的思想

假设有 n n n个样本, p p p个指标,则可以构成大小为 n ∗ p n * p np的样本矩阵 x x x:
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假设我们想找一组新的变量 z 1 , z 2 , … , z m ( m < = p ) z_1,z_2,…,z_m(m<=p) z1,z2,,zm(m<=p),且它们满足:
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系数 l i j l_{ij} lij的确定原则:
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**四、主成分分析的计算步骤

假设有 n n n个样本, p p p个指标,则可以构成大小为 n ∗ p n * p np的样本矩阵 x x x:
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第一步:首先对其进行标准化处理

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第二步:计算标准化样样本的协方差矩阵

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第三步:计算 R R R的特征值和特征向量

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第四步:计算主成分贡献率以及累计贡献率
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第五步:写出主成分

一般取累计贡献率超过80%的特征值所对应的第一、第二、…、第m(m<=p)个主成分
在这里插入图片描述

第六步:根据系数分析主成分代表的意义

对于某个主成分而言,指标前面的系数越大,代表该指标对于该主成分的影响越大

第七步:利用主成分的结果进行后续的分析
  • 主成分得分:不可以用于评价类模型
  • 主成分用于聚类分析(方便画图)
  • 主成分分析可用于回归分析

五、主成分分析的代码
clear;clc
 load data1.mat   % 主成分聚类
%  load data2.mat   % 主成分回归

% 注意,这里可以对数据先进行描述性统计
% 描述性统计的内容见第5.相关系数
[n,p] = size(x);  % n是样本个数,p是指标个数

%% 第一步:对数据x标准化为X
X=zscore(x);   % matlab内置的标准化函数(x-mean(x)/std(x)

%% 第二步:计算样本协方差矩阵
R = cov(X);

%% 注意:以上两步可合并为下面一步:直接计算样本相关系数矩阵
R = corrcoef(x);
disp('样本相关系数矩阵为:')
disp(R)

%% 第三步:计算R的特征值和特征向量
% 注意:R是半正定矩阵,所以其特征值不为负数
% R同时是对称矩阵,Matlab计算对称矩阵时,会将特征值按照从小到大排列哦
% eig函数的详解见第一讲层次分析法的视频
[V,D] = eig(R);  % V 特征向量矩阵  D 特征值构成的对角矩阵


%% 第四步:计算主成分贡献率和累计贡献率
lambda = diag(D);  % diag函数用于得到一个矩阵的主对角线元素值(返回的是列向量)
lambda = lambda(end:-1:1);  % 因为lambda向量是从小大到排序的,我们将其调个头
contribution_rate = lambda / sum(lambda);  % 计算贡献率
cum_contribution_rate = cumsum(lambda)/ sum(lambda);   % 计算累计贡献率  cumsum是求累加值的函数
disp('特征值为:')
disp(lambda')  % 转置为行向量,方便展示
disp('贡献率为:')
disp(contribution_rate')
disp('累计贡献率为:')
disp(cum_contribution_rate')
disp('与特征值对应的特征向量矩阵为:')
% 注意:这里的特征向量要和特征值一一对应,之前特征值相当于颠倒过来了,因此特征向量的各列需要颠倒过来
%  rot90函数可以使一个矩阵逆时针旋转90度,然后再转置,就可以实现将矩阵的列颠倒的效果
V=rot90(V)';
disp(V)


%% 计算我们所需要的主成分的值
m =input('请输入需要保存的主成分的个数:  ');
F = zeros(n,m);  %初始化保存主成分的矩阵(每一列是一个主成分)
for i = 1:m
    ai = V(:,i)';   % 将第i个特征向量取出,并转置为行向量
    Ai = repmat(ai,n,1);   % 将这个行向量重复n次,构成一个n*p的矩阵
    F(:, i) = sum(Ai .* X, 2);  % 注意,对标准化的数据求了权重后要计算每一行的和
end

%% (1)主成分聚类 : 将主成分指标所在的F矩阵复制到Excel表格,然后再用Spss进行聚类
% 在Excel第一行输入指标名称(F1,F2, ..., Fm)
% 双击Matlab工作区的F,进入变量编辑中,然后复制里面的数据到Excel表格
% 导出数据之后,我们后续的分析就可以在Spss中进行。

%%2)主成分回归:将x使用主成分得到主成分指标,并将y标准化,接着导出到Excel,然后再使用Stata回归
% Y = zscore(y);  % 一定要将y进行标准化哦~
% 在Excel第一行输入指标名称(Y,F1, F2, ..., Fm)
% 分别双击Matlab工作区的Y和F,进入变量编辑中,然后复制里面的数据到Excel表格
% 导出数据之后,我们后续的分析就可以在Stata中进行。


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