【考研数学】一. 极限与导数

零. 分值分配

高等数学：84分，占56%(4道选择题，4道填空题，5道大题);
线性代数：33分，占22%(2道选择题，1道填空题，2道大题);
概率论与数理统计：33分，占22%(2道选择题，1道填空题，2道大题)。
选择题：8题(每题4分);
填空题：6题(每题4分);
解答题：9题(每题10分左右);
满分150分，考试时间3小时。8：30 - 11：30
老师：潘鑫 武忠祥

一. 极限与导数

1. 基本知识点

• 基本初等函数的导数公式
• 函数的和差积商的求导法则
• 反函数的求导法则
• 复合函数的求导法则
• 隐函数求导法则——直接对方程两边求导
• 对数求导法：适用于幂指函数及某些用连乘连除表示的函数
• 参数方程求导法{x = x（t），y = y（t）}
  • 极坐标方程求导 可以转成参数方程
• 相关变化率问题
  • 裂出依赖于t的相关变量关系
  • 等式两端对t求导
• 微分概念 Δy≈dy
  • 可微 ↔ 可导 == dy = f’(x)dx
• 微分运算法则
  • 微分形式不变性：df（u） = f‘（u）du
• 微分中值定理与导数应用

  • 极值定义：x0的邻域恒有fx > fx0 极小值，反之极大值。

  • 费马引理：fx在x0取得极值，在x0可导，那么fx0的导 = 0

  • 罗尔定理：若f在[a,b]上连续，(a,b)内可导，f(a) = f(b)，那么存在ξ∈（a,b）,f(ξ)的导数 = 0.

  • 拉格朗日中值定理：若f在[a,b]上连续，(a,b)内可导，那么存在ξ∈（a,b）,fb - fa = f(ξ)导*（b-a）

  • 延伸：函数的导数等于0，则函数在这个区间为常数
    遇到同一函数格式，做差就用拉格朗日

  • 柯西中值定理：两个不同函数的拉格朗日比值。
    

  • 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例（导数 = 0）

  • 拉格朗日中值定理是柯西定理的特例（Fx = x）
    应用：证明恒等式，不等式，有关中值问题的结论

• 洛必达法则：用柯西定理证来的导数求极限
  • 应用的时候注意等价无穷小化简
    
• 泰勒公式
  多项式 代替 一般函数 ， 曲线 代替 一般曲线

1. Peano余项：局部形态，求极限的时候
2. Lagrange余项：整体形态，求不等式的时候
3. x0 = 0的时候 麦克劳林公式

需要记住一些泰勒展开的麦克劳林特例：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}$$

$$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...+(-1{)}^n\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$$

$$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

难得手敲公式，纪录一下写法：

$$回车
e^x = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + ... + \frac {x^n}{n!}
sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} + ... + (-1)^{n} \frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}
cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + ... + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}
$$结束

• 函数的单调性
• 函数的凹凸性
• 函数的渐近线
  • 水平：看x->∞的时候极限是否存在
  • 垂直：看有限点的极限是否无穷，比如分母为0的间断点。
  • 斜渐近线：y/x求x->∞，y-ax的极限值得b

递推数列求极限：先证单调有界，再两边取极限。
间断点的判定：直接代入可以求的值，剩下的再求极限。

2. 做题方法

极限

简单的等价无穷小

公式里不会打~，就用等号代替了。

$$se{c}^{2}x-1=ta{n}^{2}x$$
$$tanx-x=\frac{1}{3}{x}^3$$
$$e^x-1=x$$
$$ln（1+x^2）=x^2$$
$$x-sinx=\frac{1}{6}{x}^3$$

已知一个极限求另一个极限

1. 若lim g(x) = A ,则 g(x) = A + a(x) , 其中lim a(x) = 0
2. 求出共同函数 f(x)
3. 代入 ， 计算（如果出现幂指函数，还需要先化简一波）

保号性和保号性的推论

• 保号性：极限值 推 函数值 （条件和结论 无等号）
• 保号性推论： 函数值 推 极限值 （条件无所谓，结论需等号）

极限的应用：求渐近线（水平渐近线，斜渐近线，铅直渐近线）

• 有水平无斜，有斜无水平，可能斜水都没有。
• 斜渐近线：除x再求无穷极限，原极限 - ax 再求极限得到b。
• 铅直渐近线：先找定义域外但有去心领域的点，然后求极限，若无穷则有。

导数

求高阶导数

• 莱布尼兹公式
  • 适用条件：两项相乘且一项经过三次求导为0。
    

分段函数求导

分段点：按导数 定义求；
非分段点：用公式求。

求最值

求函数在给定区间的最值

1. 求极值
2. 求端点的函数值或极限值
3. 比较

求交点（实根）个数

求f(x)与g(x)交点个数，求f(x) = g(x)实根个数

1. 设辅助函数F(x) = f(x) - g(x)
2. 确定辅助函数F（x）的定义域
3. 求两种值：
   • F(x)的所有极值
   • F(x)在定义域端点处的极限值：区间左端点算右极限，右端点同理。
4. 得出答案
   • 写两行，y与x的关系，看相邻的数。
   • 异号，则存在交点或实根，同号，则不存在交点或实根。

• 注意：极限值0不算交点，极值0才算

证明不等式

• 形式一：yy < yy < yy ，并且每一个xx均不含x
• 形式二：f(x) > < >= <= g(x)

例题：
$$\frac{x}{1+x}<ln(1+x)<x(x>0)$$
在中间构造多一个ln1，即可使用拉格朗日定理。

• 如果出现了高阶导数的抽象函数、可以考虑泰勒。
• 遇到如下形式，通常使用凹凸性证明，即证f（x）二阶导：（如下情况只需证函数为凸函数、即二阶导<0）
  $$\alpha f(x_1)+(1-\alpha )f(x_2)<=f(\alpha x_1+(1-\alpha )x_2)$$

证明恒等式f(x) = g(x) 其中x∈（-1 ， 1）

• 显示：证明左右两侧的导函数相等，然后代入任何一个点计算出相等即可。
• 隐式：反证法（至少有一点使得f(x)-g(x)!=0）

证明零点问题（存在某数使得…）

零点定理：

逆否：

若f(x)在某区间内的所有点都不为0，则f(x)在该区间一定“恒正”或“恒负”

可微 可导 连续 三者关系的作用

• 可导 <=> 可微
• 可导必连续，连续未必可导 <=> 可微必连续，连续未必可微
• 不连续必不可导（逆否命题）

但是有什么用呢？

• 如果题目给出了f(x)可导，则它连续。代表它可以求极限，并且它的值是它的函数值。

• 如果选择题给出了判断关系，其中A可导，B可微，C连续，D不可导。毫无疑问，AB同质可以先排除掉。如果是选择不正确的，那么甚至可以反推出 该题可导，又因为可导必连续，故选D。

3. 本章心得

1. 如果遇到【取整函数】求极限，尝试用夹逼准则：
   $$x-1<[x]<x$$
2. 遇到极限的比值为非零常数，单独求分母极限0，那么分子极限也0。等阶无穷小。洛必达之后就可以使用。分母为x的三次方，那么分子可以单独看出极限为0.（可以把泰勒给换了？？）
3. 如果遇到 【数列 分数 连乘】的极限，也可以考虑夹逼准则，（优先）放缩 分母，统一分母之后进行连乘或求和。
4. 同号无穷相减：提因子（不是分数） + 通分（分数）
   提完一个因子之后可以拆开乘法，用洛必达
5. 题目出现“数列”，“极限存在”，下一步就是设数列的极限为a，然后代入条件中的等式，可以直接求出来。

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4. 补充

1.求极限方法

1. 利用基础极限求极限
   

$$li{m}_{x->0}\frac{a^x-1}{x}=lna$$

2. 利用等价无穷小
   乘除关系可以直接换
   加减关系在一定条件才可以换，即换之后的a-b 不等价于原本的a-b

3. 洛必达法则
4. 泰勒公式

5. 夹逼准则

求和式的极限。一般放缩分母，还有一些特殊不等式：

$$\frac{x}{x+1}<ln(1+x)<x$$

6. 利用定积分的定义求

也是求和式的极限，先提可爱因子1/n，根据提出的因子设函数。

Tip：如果主体的量级大于变体的量级，就用夹逼准则，放缩分母。因为等级不一样，所以放缩对结果关系。反过来，如果它们的量级相等，就使用定积分的定义来求极限。

7. 利用单调有界准则求极限

一般用于递推。需要先通过单调有界证明极限存在，然后设极限为a，代入递推的式子中。

8. 利用中值定理求极限

积分中值定理和拉格朗日中值定理

2.求极限常见题型

不要想着有万能的通法，洛必达。太限制思维了。

函数的极限
7种不定式，0/0，1的无穷

0/0：洛必达，等价无穷小，泰勒

• 原式化简：极限非零的因子先求出。
• 有理化：多的一个因子一般可以先求出来。
• 变量代换：乘除可换。

∞/∞：洛必达，分子分母同时除最高阶的无穷大

∞ - ∞： 通分，化0/0；根式有理化，提无穷因子后等价代换

遇到变上限积分，先洛必达去掉积分号

n项连乘的数列极限
1）夹逼原理
2）取对数转为n项和

3. 一眼套公式 之 ∞ × 0

3.1 指数对数和多项式的极限

3.2 指数函数和多项式的极限

4. 常见数列极限的求法

4.1 数列项数 求和的极限

项数列和的极限问题, 常用的方法是: 夹逼定理和定积分定义.

4.2 数列 递推的极限

5. 周期函数的极限

比如三角函数，用泰勒消里面的项

例题1：（答案：-1）

例题2：（答案：1）

6. 类型三的极限定义（幂指型）

7. 解题技巧：ln（1+x）的不等式（夹逼用的）

8. 解题技巧：反复用罗尔定理

9. 解题技巧：双变量不等式的构造

例题：

答案：C

10. 中值定理证明点的存在

核心：构造辅助函数 用罗尔定理
证明：F[ξ，f^’ (ξ)，f^’’ (ξ)] = 0

分析法：直接求g’(x) = F[ξ，f^’ (ξ)，f^’’ (ξ)]
微分方程法：求通解H（x，y）=C

11. 不可导的式子：根号（x平方）