「自动控制原理」5 频率特性法

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前一章讲了根轨迹法，属于一种复域分析方法。而除了在复域中处理输入输出，还可以在频域中处理（实际上频域中处理更加常用），所以这里介绍频率特性分析法。
频域分析，实际上就是研究稳态正弦响应的 幅值 和 相角 随频率的变化规律。
频域分析法通过研究开环频率特性进而研究闭环稳定性及性能。
与根轨迹相同，也是一种图解分析法，所以方便实用但也有一定的近似性。

频率特性的基本概念

什么是频率响应？

频率特性是指线性系统稳态正弦响应的幅值、相角随输入频率变化的规律性

比如在这里解出来u_c(t)，里面含有$\omega$，说明输出与输入的频率有关。这个规律就叫做频率特性

输出第一项将随着时间增大而趋于0，称为衰减信号或瞬态分量
而第二项是一个正弦函数形式，频率为$\omega$，称为稳态分量
取出稳态分量，也就是得到稳态正弦响应。这个正弦函数的幅值$|G(j\omega )|$和相位$\varphi (\omega )$均为频率$\omega$的函数，因此可以构建一个频率传递函数，分别对应其幅值和相角，记为：
$G(j\omega )=|G(j\omega )|e^{j\varphi (\omega )}$
$G(j\omega )$就是系统的频率特性。

频率特性的定义

方法1:
分别定义幅值和相角
$\{\begin{array}{rl}|G(i\omega )|=& \frac{|c_s(t)|}{|r(t)|}\\ \angle G(j\omega )=& \angle c_s(t)-\angle r(t)\end{array}$
这两个公式分别称为幅频特性和相频特性

方法2:
利用复域传递函数
$G(j\omega )=G(s){|}_{s=j\omega }$

方法3:
利用fourier变换
$G(j\omega )=\frac{C(j\omega )}{R(j\omega )}$

也就是先通过复域传递函数，进行拉氏反变换，然后把s替换成$j\omega$，化简之后发现变成了傅氏反变换的形式，因此推导出这个公式。

接下来根据定义做一道例题：

由于稳态正弦响应一定是与输入频率相同的正弦函数，所以只需要确定出幅值和相位就可以写出函数了。

频率特性的图示

除了前面露过面的幅频特性和相频特性两条曲线，还有其他的表示系统频率特性的方法：

具体的会在后面进行介绍。

幅相频率特性 Nyquist

也叫做极座标图。在复平面上，频率特性可以表示为一个向量，向量的长度表示频率特性的幅值，向量与实轴正方向的夹角为频率响应的相位，这样就构成了Nyquist图。

典型环节的幅相特性曲线

part1：比例 微分 积分 惯性 一阶复合微分环节

现在再来看Nyquist图，颇有一种根轨迹的感觉。平面叫做G平面，也就是说平面上的每一个点都表示一个$G(j\omega )$。随着$\omega$的取值从0到无穷，频率特性留下的轨迹就成为了幅相特性曲线。
根据一个点的位置，可以知道$G(j\omega )$的幅值和相位，但并不能直接读出$\omega$

之前都是已知系统传递函数来画图。但也可以从Nyquist图反求系统传递函数：

part2：震荡 二阶复合微分 延迟环节

震荡环节

震荡环节和之前最大的不同就是根据$\xi$的不同，Nyquist图的形状也不同。
求幅值的最值：

1.在$\xi$较大时，随$\omega$增大，幅值单调减小，也就是图像一直趋近原点运动。
而$\xi$较小时，随$\omega$增大，幅值先增大后减小，也就是图像先远离原点，再趋近原点。

2.引入谐振频率和谐振峰值来表示幅值最大点的频率和幅值。

有图像反求传递函数：

二阶复合微分环节

「这个不稳定二阶微分，还有前面的不稳定一阶复合微分，是我自己瞎取的名字，方便和不稳定震荡环节、不稳定惯性环节相对应」

延迟环节

开环幅相特性曲线

之前是每一个环节分开来。现在直接从开环传递函数入手。仍然是分成幅值和相角两个方面分别计算，再合成为矢量。根据$\omega$的变化绘制成曲线。

绘制开环幅相特性一般不要求高精度，所以根据起点、终点，大概勾勒出形状即可。如果有更高的要求，可以代入与实轴的交点等条件增加精度。

0 1 2 3型系统的开环Nyquist

看这个例题：


也就是说不同的系统型别，开环幅相特性曲线朝向是不同的。而对于某一型的系统，可以根据这个例题，直接勾勒出对应的曲线形状。

来看个例题：

基本思路：实部虚部分开，计算与实轴的交点，找出渐近线，再根据相应系统的型别对应的曲线形状勾勒出曲线。

那如果不是0 1 2 3型系统，而是其他型别该怎么办？

其他型别系统的开环Nyquist

那就先根据起点和终点勾勒出一个形状，再实部虚部分开计算与座标轴的交点，描绘曲线。

对数频率特性 Bode

Nyquist图计算比较繁琐，而且无法直观看出每个零点和极点的影响。而Bode图更加方便因此工程实际中使用更多。
Bode图由对数幅频曲线和对数相频曲线两部分组成。

半对数座标系

Bode图是画在半对数座标系里面的。
横轴：频率$\omega$，但按照频率的对数$\lg \omega$标定
纵轴1：对数幅值（Logarithm magnitude，简称Lm）
$LmG(j\omega )=20\lg |G(j\omega )|$，线性标定
纵轴2：相角，线性标定

两个纵轴都很好理解，一个是对幅值取对数×20，一个就是相角本身，也都是线性标度。
而对于横轴，由于划分刻度是按照对数，因此疏密不一。这里一定要注意：横座标上的某个点，直接读出其座标值，是频率，而不是频率对数
对数分度，有"等距等比"的性质，也就是当变量增大或减小10倍（记为dec，称为十倍频或者旬距）时，座标间的距离变化一个单位长度。

典型环节的对数频率特性曲线

part1：比例 微分 积分 惯性 一阶复合微分环节

惯性环节和一阶复合微分环节的特征是$\pm 20dB/dec$

注意：

这里的$L(\omega )$曲线都是画的直线，是经过了近似处理，为研究方便的。
$\phi (\omega )$曲线全部都是中心对称的，这里只证明了一个。画的时候可以根据对称性更轻松画出。

part2：震荡 二阶复合微分 延迟环节

震荡环节和二阶复合微分环节的特征是$\pm 40dB/dec$

例题与其他概念

例题还是老样子，由图像倒求传递函数

概念有这么几个，了解即可。

转折频率

对数幅值频率特性拐弯的点
对于惯性、一阶复合微分：$\frac{1}{T}$
对于震荡、二阶复合微分：${\omega }_n$
之前都是画的近似曲线，变成折线，但实际上在转折频率处$L(\omega )$已经有改变了。以惯性环节为例：

在转折频率处有-3dB的衰减

截止频率

对数幅值频率特性为0的点，也就是$|G(j{\omega }_c)|=1$

开环对数频率特性

在这里可以发现，绘制开环对数频率特性的时候，无论是对数幅值还是相角，都符合线性定理，可以根据多个典型环节叠加而来。

绘制开环Bode图的步骤

1. 将开环传递函数化为尾1标准型
2. 列出每一个环节的转折频率
3. 确定基准线（最小的转折频率左边的情况）
   基准线过点（$\omega =1,L(1)=20\lg K$）
   斜率$-20vdB/dec$，v为系统型别
4. 叠加做图：
   惯性、一阶复合微分$\mp 20dB/dec$
   震荡、二阶复合微分$\mp 40dB/dec$
5. 修正：
   两惯性环节转折频率很接近时$\to$用圆弧修正
   震荡环节$\xi <0.38或\xi >0.8时\to$用曲线表示
6. 检查：
   $L(\omega )$最右端斜率为$-20(n-m)dB/dec$
   转折点个数=惯性、一阶复合微分、震荡、二阶复合微分环节个数和
   $\phi (\omega )\to -90°(n-m)$

关于相角频率特性，这里只是大致勾勒一下。开环的相角频率特性同样是多个典型环节特性的叠加。
实在严谨的做图中，需要使用圆规测距描点，再连接成曲线。但因为工程实践不太看这个曲线，所以多做题根据手感勾一条一般问题不大。

紧接着借这道例题讲一下Nyquist图和Bode图的对应关系：

以截止频率为例：在对数幅频特性曲线上的一点，其幅值在幅相特性里对应一个圆，根据圆与曲线的交点就可以找出两图中对应的点。
而对数相频特性曲线上的一个点对应幅频特性图相应相角的一条射线。

从对数频率特性反求传递函数：

通过转折点、斜率可以知道系统的构型。本题全是直线，$\xi$是不可求的，因此要求的参数只有一个K。
除了这种方法，这道题还有很多别的方法

这里绿色框的近似处理，跟前面讲典型环节时的近似处理是一样的意思，如果代入$\omega$后s项大于1，把1舍去；反之，把s项舍去。

最后在这里拓展一下：

首先是基准线的函数关系式：
$L(\omega )=20lg|\frac{K}{{\omega }^v}|$
由此可以得出，已知基准线与横轴交点座标${\omega }_0$时：
$K={\omega }_0^v，{\omega }_o=K^{\frac{1}{v}}$

非最小相角系统

先来看一道例题：
之前在没有给出相频特性的情况下，默认所有环节都是稳定的。但是如果给出了相频特性，就需要根据这条曲线来确定具体哪些环节稳定而哪些环节不稳定了。

「这里是用了代数的方法去计算相角，做题的时候也可以画零点极点分布图来帮助确定相角。」

在这里就涉及到了非最小相角系统：
在右半S平面存在开环零、极点，或带有纯延时环节的系统称为非最小相角系统。

如果更加直观的解释，就是系统的各个环节中，含有某一个或几个不稳定环节或者纯延时环节。
也就是前面那个例题，在+ -，- +，- -的情况下，都属于非最小相角系统。

之所以叫做非最小相角系统，是因为相比最小相角系统，非最小相角系统相角变化的绝对值一般更大

但值得注意的是：非最小相角系统未必不稳定

频域稳定判据

之前介绍过一个劳斯稳定性判据，属于代数稳定性判据。在不解出特征根的情况下可以判断系统的稳定性。但这种判据不能指导我们如何调整系统结构才能改善系统稳定性。
而这里讲到了系统的频域特性，也就相应的有两种频域稳定判据
频域稳定判据包含奈奎斯特判据和对数稳定判据。频域稳定判据可以由开环频率特性直接判断闭环系统的稳定性，而且可以研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的问题。

奈奎斯特稳定判据 Nyquist

系统的Nyquist图不穿过$(-1+j0)$点，且逆时针包围$(-1+j0)$点的圈数R = 开环传递函数在s右半平面的极点数P，则系统稳定。

再直观一点就是：
$Z=P-R$，如果Z=0，则系统稳定。

Z：在右半s平面中的闭环极点数。根据稳定的充要条件：全部闭环极点均均有负的实部，可知只有当Z=0时，系统才稳定。
Nyquist图：就是前面认识过的幅相频率特性曲线，但是有一点区别在于，这里的$\omega$取值是$(-\infty ,+\infty )$。对于$G(j\omega )$，$\omega$取+和-，幅值不变，而相角呈对称关系。所以开环幅相频率特性=$\frac{1}{2}$Nyquist图。
引入N：开环幅相特性曲线逆时针包围$(-1+j0)$点的圈数，则有2N=R

因此也有：

$Z=P-2N$

如果Z=0，则系统稳定。

先不管太多，根据这个式子，做一道题：

这个判据使用起来就是这样的。而接下来进入理论升华：

奈奎斯特稳定判据的推导

奈氏路径：从$(0-j\infty )$沿虚轴到$(0+j\infty )$，再经由半径无限大的圆弧回到$(0-j\infty )$。如果在路径上有零点或者极点，则以一个半径无限小的圆弧从右边绕过。
零极点对应的角度：就是$(s-p_i)$和$(s-z_j)$在s环绕奈氏路径一周过程中角度的变化量。
$\mathbf{F}(\mathbf{j}\omega )$绕原点的角度：$\angle F(j\omega )=\angle \frac{\Pi (s-z_i)}{\Pi (s-p_j)}=\sum \angle (s-z_i)-\sum \angle (s-p_j)$。代入零极点对应的角度就可以计算$F(j\omega )$转过的角度。（角度以逆时针为+）
系统稳定的条件：右半平面内系统闭环极点数量为0，也就是右半平面内F(s)零点数量为0，即Z=0。
使用开环幅相特性判断稳定性：$F(j\omega )=1+G(j\omega )H(j\omega )$，F绕原点也就等效为GH绕(-1,j0)点。而幅相特性 = 一半的奈奎斯特图，所以有Z=P-2N，当Z=0时系统稳定。

再来看一个例题：
这道题就是在虚轴上有零极点，奈氏路径需要绕过去的这个情况：
（做题的时候不需要画奈氏路径，但奈氏路径的“绕”依然会体现在幅相曲线的“绕”之上。）

怎么看幅相曲线环绕(-1,j0)点的圈数呢，可以想象自己站在(-1,j0)点上，从$\omega =0$开始，眼睛盯着$G(j\omega )$点，身体跟着转动，直到$\omega =+\infty$，看看自己的身体转了几圈。

通过对数频率特性计算N

虽然说看幅相特性曲线已经很方便了，但终归来说幅相特性曲线还是不太好画的，而对数频率特性曲线就简单多了。所以希望可以在Bode图里面计算奈奎斯特稳定判据。

$N=N^{+}-N^{-}$
N⁺：正穿越次数
N^–：负穿越次数
穿越：在$|G(j\omega )|>1$的范围中，$\phi (j\omega )$穿越-180$°$，从上往下穿叫负穿越，从下往上穿叫正穿越。
以-180$°$为渐近线的，算半次穿越，在-180以上为正，-180以下为-

$|G(j\omega )|>1$，也就是$L(\omega )>0$，截止频率以上。

同一道例题，如果画对数频率特性，就会更加简单直观，也不用我们去转圈了。

再看一个以-180$°$为渐近线的情况：

对数频率特性的问题

问题在于我们画的折线Bode图，是一个渐近的折线，所以有时候会出一些问题：

幅值相关问题

如果这么做就会得到系统稳定的结论。但如果画根轨迹，或者画幅相特性曲线都会发现系统实际是不稳定的。

尤其是看幅相曲线，一定是包围(-1,j0)点-1圈的，N不应该为0。
这道题的问题就在于Bode图过于近似了。在$\omega =5$附近，幅值应该是无穷大。
修正对数幅相特性后：

相角相关问题

看起来没有发生穿越，但问题在于穿越-180和穿越+180没有本质区别（因为+180和-180是同样的方向）依次类推，穿越±360、±540、等等都相当于穿越-180

穿越180的整数倍时，同样是从上到下为负穿越，反之为正穿越。
画根轨迹和幅相特性同样可以验证：

临界稳定问题

之前的讨论都是稳定或者不稳定，而临界稳定问题被单独拿出来了。
临界稳定状态：幅相特性曲线过(-1,j0)点。这个很好判别，只需要计算幅相特性曲线和实轴的交点就可以了，不再过多讨论。

稳定裕度

讨论系统的稳定性，除了在正常条件下系统稳定，还要求系统具有一定的“富余”，也就是某一参数或特性在一定范围内波动，系统仍然保持稳定（称为相对稳定性）。
在频域稳定判据里面，有一个非常重要的点(-1,j0)，这个点为临界点。幅相特性曲线距离临界点的远近，反映了系统的相对稳定性。离临界点越远，相对稳定性越好。
而稳定裕度是用来度量频域相对稳定性的。（开环频率指标之一）

定义

相角裕度$\gamma$

$\gamma =180°+\angle G(j{\omega }_c)$
其中${\omega }_c$为截止频率

幅值裕度h

$h=\frac{1}{|G(j{\omega }_g)|}$
其中${\omega }_g$为相角交界频率，也就是相角为$-180°$时的频率

几何意义

如图所示。一般要求：
$\{\begin{array}{rl}\gamma & >40°\\ h& >2\end{array}$

物理意义

相角裕度：系统在相角方面的稳定储备量
原本稳定的系统，但增加延迟环节改变相角之后，就可能变得不稳定了。

「注：增加一个纯延时环节相角滞后57.3$°$，在本文之前的推导中写的是$\frac{180°}{\pi }$」

幅值裕度：系统在幅值方面的稳定储备量
原本稳定的系统，增大增益后可能就不稳定了。

计算

根据定义解根

没什么好说的，就是硬算，非常不推荐这种做法，因为太麻烦了。

稍微简单一点的方法是，通过计算幅相特性曲线与实轴的交点来确定${\omega }_g$，可以规避三角函数运算。
即把$G(j\omega )$写成$X+jY$的形式，令虚部$Y$=0，即可求出${\omega }_g$（计算方法在开环幅相特性曲线的部分有举例）

根据Bode图读根

计算截止频率的时候，直接按照渐近的方法算，能快速很多。稍微有一点误差，但一般在接受范围内。

这里解释一下为什么对于 20-40-60 斜率的Bode图有${\omega }_g=\sqrt{{\omega }_1{\omega }_2}$：

20-40-60斜率，就可以知道是一个1型系统，有两个拐点，都是惯性环节。之前推证过惯性环节相频特性是中心对称的，所以根据对称性叠加（蓝、橙、红），可知在两个惯性环节中点处刚好叠加出-180（绿）。计算中点：${\omega }_g=\sqrt{{\omega }_1{\omega }_2}$——等距等比

补充

对数相频曲线的归宿问题：

也就是说，在每一段上，相频曲线都有一个趋势。根据这个趋势可以粗略估算相角裕度：

而由于趋势不能真正达到，所以具体不是是稳定还需要看这一段前后的影响。

分析系统性能

利用开环对数幅频特性分析系统性能

三频段理论

首先注意，这里的低频中频高频并不是在信号领域定义的高中低频。对于控制系统而言，一般工作频率几~几百赫兹，高中低是基于控制系统划分的。

低频段反映系统稳态误差。由静态误差系数法可知，系统型别高，开环增益高，相对来说稳态误差更小。也就是低频段曲线应该陡、高。
高频段反映系统抗高频噪声的能力。欲使噪声影响小，应使高频段曲线矮。
中频段是本节着重讨论的内容：

接下来找${\omega }_c、\gamma$和$\sigma \%、t_s$的关系：

二阶系统

解题的时候根据$L(\omega )$曲线，计算${\omega }_c、\gamma$，再到两幅图里面读出相应的性能参数即可。

「曲线图源：卢京潮课件」

高阶系统

推导略。对于高阶系统有近似表达式，同样反映${\omega }_c、\gamma$和$\sigma \%、t_s$的关系：

其实也不一定必须读图，也可以带进式子里计算。

「曲线图源：卢京潮课件」

利用闭环频率特性分析系统性能

虽然可以通过开环特性分析闭环性能，但是由于可以通过实验轻松得到系统的闭环频率特性，且闭环频率特性的一些特征量在工程应用中十分广泛，所以研究闭环频率特性还是很有必要的。

闭环频率特性的特征量

向量法研究

也就是从定义着手

这样就从几何层面建立了开环特性和闭环特性的关系，知道了开环幅相特性曲线，就可以计算闭环传递函数了。

等M圆、等N圆

但是每次画图，求长度算角度比较复杂，也不容易看出趋势，所以又引入了两个辅助工具：

等M圆

「曲线图：卢京潮课件」

等N圆

「曲线图：卢京潮课件」
在等M圆和等N圆就像是地图里的等高线一样。在这幅"地图"里面画出开环Nyquist，就能根据交点，确定某一个$\omega$下的闭环幅值和相角。

尼柯尔斯图线（Nichols）

首先注意这里说的是Nichols图线，而不是Nicholes图。（他们的关系就像是尺子和地图一样，图线是用来读取图上的数据用的）

「曲线图：卢京潮课件，蓝色为对数幅值，绿色为相角」
尼柯尔斯图线其实本质上就是等M圆、等N圆映射到对数幅相座标系时的曲线。

闭环频域指标->时域指标

二阶系统

「曲线图：卢京潮课件」
跟之前利用开环评率特性分析性能的时候一样，首先找出带宽频率${\omega }_b$，通过这个频率读出阻尼系数$\xi$和超调量$\sigma$，计算谐振峰值在代入曲线求调节时间$t_s$

高阶系统

跟之前开环的情况是一样的，依然是画曲线，再读点。

利用开环频率分析性能与利用闭环频率特性分析性能，达到的目的是一样的，两种方法根据方便选用即可。