JAVA实现线性优化的单纯形算法

@TOCJAVA实现线性优化的单纯形算法

JAVA实现线性优化的单纯形算法

网上的一些单纯形算法基本都是基于Python或者matlab的库自带函数进行计算，基于JAVA实现该算法的例子相对较少，因此我将本人做的一个实现案例发布供大家参考。
网上关于该算法的原理已经有不少的介绍，因此下文不做过多赘述。

实现思路

给出以下限定条件：
①每一个优化变量的取值范围均为Xi>=0
②对于一个目标函数为max优化的案例，当目标函数变量的系数全都小于等于0时，此时目标函数的常数项为目标值。
同理，对于min优化的案例，当目标函数变量的系数全都大于等于0时，此时的目标函数的常数项为目标值。
③由②可推得，当目标函数为min优化时，让目标函数的每一个变量的系数乘以-1可以转化为max优化，反之亦然。

**实现步骤：**

步骤一：把不等式约束转化为等式约束

为所有的不等式约束添加一个松弛变量，使不等式约束变成等式约束。

例子：
max： Z=3X1+X2+2X3

在这个案例中，有三个不等式约束，因此我们添加一个松弛变量，使得等式成立。如 X1+X2+3X3+X4=30，即，在X4取得某个大于等于零的值的情况下该等式成立。由此，我们构造出了以下的等式约束：

步骤二：根据目标函数，选取入变量和出变量

若目标函数的变量系数全都小于等于零，则此时的目标函数值为常数项。
否则，进行如下操作：
由目标函数可以看出，三个系数均大于零，为了避免混淆，我们规定了如下的消元变量选取规则：
① ：变量的下标尽可能的小
② ：变量的系数需大于0
由此，可以选出第一个需要消元的变量：X1

确定了目标函数中待消元的变量（出变量），我们就可以把目标函数的X1用约束条件中的某一个等式约束进行替换，因此，我们还需要判断选取哪一个等式作为入变量。

入变量的选取规则：
① ：入变量所在的等式的常数与出变量的系数之比的相反数最小。
② ：入变量所在的等式的出变量的系数需小于0
如该案例中，出变量为X1，三个等式约束中，等式一的常数与出变量系数之比为30，同理，等式二的比值为12，等式三的比值为9 。因此，我们选取X6作为入变量。经过整理后，可得如下等式约束：
X1=9 - 1/4*X2 -1/2*X3 - 1/4*X6

步骤三：进行高斯消元，使得新的目标函数不再包含出变量

将该式带入目标函数以及其他各式里，得到新的目标函数以及等式约束如下：

可以看到，目标函数的目标值此时是27，变量中不再含有X1，而多了X6，且X6的系数小于等于零。
因此，回到步骤二，反复执行步骤二、三，直到目标函数所有变量的系数均小于或等于0 。

说明：

以上的步骤均是基于所给的例子进行，因此编写的代码也是基于这些步骤，而实际案例中，出了例子中的<=约束，还存在>=约束或者等式约束，对于出现这类情况，我们在构造松弛型约束矩阵的时候遵循以下的规则：
①：只给不等式约束添加松弛型变量。若一开始所给的约束条件中包含m个不等式约束，n个等式约束，则只需要添加m个松弛型变量。
这是因为我们的算法是基于等式约束进行消元得到的解，因此我们只需要把不等式转化为等式，若该约束一开始便是等式，则不需要额外的处理。
②：为了处理方便，我们需要把所有的不等式约束均处理为AX<=B的模式，若存在AX>=B的情况存在，只需要在不等式两边乘以-1即可改变符号。

代码设计：

算法以及在上面交代好了，可运行的代码我会通过网盘分享给大家。因此在这里不做赘述。
本代码可以解决大多数基础的线性优化问题，但是存在以下不足，因时间问题未能完善：
①：没有设计一个函数来判断输入的线性优化问题是否有解
解决方法：在步骤二的选取入变量的部分中，我们要求“入变量所在的等式的出变量的系数需小于0”。若存在一个线性优化案例，该案例中，选取好了出变量后，每一个等式约束中出变量的系数均大于0，则该问题无解。
②：本代码只给出了目标值以及该目标值对应的基变量的系数，并没有给出变量的取值。
③：由于JAVA缺乏矩阵的处理函数，因此该算法实现案例中有着大量笔者自写的函数，由于笔者自身水平局限，不免存在着许多不足需要去完善。

代码链接：
https://pan.baidu.com/s/1O6LnLIb4UAwkBymrdLZJTA
提取码：zc66

本代码的使用说明：

在输入系数矩阵的时候，应该严格按照以下规则输入数据：
若对于 aX1+bX2+cX3<=d，输入的顺序应该是
d a b c
即，常数项放在第一个，其他变量的系数依次输入，若无，则补零。
目标函数的输入也按照此规则。

本代码求解上文案例：
输入：

输出：

参考文献：

算法导论 第三版 p507~510