矩阵论-线性空间的基与坐标，基变换坐标变换

综述

本系列博文主要总结学习矩阵论的心得笔记，参考数目《矩阵论》–张凯院；整个文章的整理体系参照行书过程。

1.1 线性空间

1.1.3 线性空间的基与坐标

向量的坐标有利于借助数量运算实现向量运算，所以引进向量的坐标是十分必要的。

1. 基： 设集合V是数域K上的线性空间，$x_1,x_2,...,x_r（r>=1）$是属于V的任意r个向量，这r个向量线性无关；且V中任意一个向量x都可以由$x_1,x_2,...,x_r$线性表示。则$x_1,x_2,...,x_r$是V的一组基。线性空间的基是不唯一的。

2. 坐标： 集合V中的任意一个向量x在一组基下的线性表示系数，为这个向量在该组基下的坐标。且每一个向量在同一组基下的坐标表示是唯一的。（唯一性的证明：设两组坐标表示，相等移项，有基线性无关，推导系数为零，导出坐标表示唯一）

在线性空间中引入向量坐标的概念后，抽象的向量和向量组的有关问题可以转化为坐标运算的问题。

1.1.4 基变换与坐标变换

因为线性空间的基是不唯一的，所以同一向量在不同基下的坐标表示一般是不同的。当基变换时，同一向量的坐标该如何变化？

1. 基变换公式：
   旧基：$x_1,x_2,...,x_n$
   新基：$y_1,y_2,...,y_n$
   新基向量用旧基线性表示：
   $$\{\begin{array}{r}{y}_1=c_{11}{x}_1+c_{21}{x}_2+...+c_{n1}{x}_n\\ y_2=c_{12}{x}_1+c_{22}{x}_2+...+c_{n2}{x}_n\\ ......\\ y_n=c_{1n}{x}_1+c_{2n}{x}_2+...+c_{nn}{x}_n\end{array}$$
   =>
   $$(y_1,y_2,...,y_n)=(x_1,x_2,...,x_n)C$$
   $$C=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& ...& c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& ...& c_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ c_{n1}& c_{n2}& ...& c_{nn}\end{array}\right]\end{array}$$
   C为旧基改变为新基的过度矩阵。
2. 坐标变换：
   向量x在新旧两组基下的坐标表示：
   旧基坐标表示：$\alpha =({\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n{)}^T$
   新基坐标表示：$\beta =({\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n{)}^T$
   $$x=(x_1,x_2,...,x_n)\alpha =(y_1,y_2,...,y_n)\beta =(x_1,x_2,...,x_n)C\beta$$
   =>
   $$\alpha =C\beta ||\beta =C^{-1}\alpha$$