曲线平滑-贝塞尔曲线

Bézier curve(贝塞尔曲线)是应用于二维图形应用程序的数学曲线。 曲线定义：起始点、终止点（也称锚点）、控制点。通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。 1962年，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，称为贝塞尔曲线。 

以下公式中：B(t)为t时间下 点的坐标；

 P0为起点,Pn为终点,Pi为控制点

一阶贝塞尔曲线(线段)：

意义：由 P0 至 P1 的连续点， 描述的一条线段

 

二阶贝塞尔曲线(抛物线)：

原理：由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线段。 
      由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线段。 
      由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。

 

经验：P1-P0为曲线在P0处的切线。

 

三阶贝塞尔曲线：

通用公式：

 

高阶贝塞尔曲线：

4阶曲线：

5阶曲线：

 

http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/spline/Bezier/de-casteljau.html

三次贝塞尔曲线光滑示例：

struct D_DOT3D //D_DOT3D的主要参数，未完全实现
{
	double x,y,z;
}
double GetThreeBezierValue(double p0, double p1, double p2, double p3, double t)
{
	return pow(1-t,3.0) * p0 + 3*t*(1-t)*(1-t)*p1 + 3*t*t*(1-t)*p2 + t*t*t*p3;
}

D_DOT3D GetThreeBezierValue(D_DOT3D p0, D_DOT3D p1, D_DOT3D p2, D_DOT3D p3 , double t)
{
	D_DOT3D dot;
	dot.x = GetThreeBezierValue(p0.x, p1.x, p2.x, p3.x, t);
	dot.y = GetThreeBezierValue(p0.y, p1.y, p2.y, p3.y, t);
	dot.z = GetThreeBezierValue(p0.z, p1.z, p2.z, p3.z, t);

	return dot;
}

long ThreeBezierCurve( vector &line )
{
	if (line.size()<4)
		return 0;

	vector vout;

	for (int i=0; i