模拟退火算法

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2019.12

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总：

自己理解：可以求全局最优解，是梯度下降法的改进

官方解释：模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e(-ΔE/(kT))，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

算法介绍：（这部分可以直接看下面的例子）

模拟退火算法的模型

1模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

2模拟退火的基本思想:

(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L

(2) 对k=1, …, L做第(3)至第6步：

(3) 产生新解S′

(4) 计算增量ΔT=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数

(5) 若ΔT<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-ΔT/T)接受S′作为新的当前解.

(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

模拟退火算法的步骤

模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：

第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropolis准则: 若ΔT<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-ΔT/T)接受S′作为新的当前解S。

第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

                                                                                                                                                         ----百度百科

分：

参考（https://www.zhihu.com/question/24761931）

例子：算法思想

1，初始化：初始温度T，初始解状态S，是算法迭代的起点；

2，产生新解S'

3，计算增量其中C为评价函数，若,则接受S'作为新的当前解，否则以概率j接受S'作为新的当前解

4，如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序，终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接收时终止算法

Sa算法应用：

应用模拟退火法求以下函数的最小值：

y=np.sin(5*np.pi(x-0.05))+np.cos(np.pi*(x-0.04))      0

代码如下

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模拟退火法
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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation  as animation



#全局变量
save_list=[]

#求解函数
def f(x):
    return np.sin(5*np.pi*(x-0.05))+np.cos(np.pi*(x-0.04))
   


#核心算法

def sa():
    T=0             #当前温度
    T_max=1
    k=10
    best=f(T)
    i=0
    break_i=0                #迭代次数
    
    while T_max>T:
        T=T+0.005
        ca=f(T)-f(T-0.05)
        if ca<0:               #如果当前值小于以前值可以继续下降
            best=min(best,f(T))
            break_i=0
        else:                 #如果当前值大于等于以前值一定的几率使用当前值e(-ca/k*T)
            if np.exp(-ca/k*T)>np.random.random(1):       #np.random.random 表示随机概率
                best=min(best,f(T))
                break_i=0
            #如果30次找不到下降值，则退出
            break_i=break_i+1
            if break_i>30:
                break
        i=i+1
        save_list.append([T,best])

    return best
        

point_x,point_y=sa()

#函数图像
fig=plt.figure()
wind=fig.add_subplot(111)
x=np.linspace(0,1,200)
y=f(x)
wind.plot(x,y)


#动态画图
plt.ion()
x=[]
y=[]
for i,j in save_list:
    x.append(i)
    y.append(j)
    plt.plot(x, y,c='r',ls='-', marker='o', mec='b',mfc='w')  ## 保存历史数据
        #plt.plot(t, np.sin(t), 'o')
    plt.pause(0.1)

 

总：后续待补充