(不会还有人不会做欧拉方程吧)考研数学中的欧拉方程

具有如下结构的变系数线性微分方程被称为欧拉方程:
f ( x ) = x n y ( n ) + a 1 x n − 1 y ( n − 1 ) + . . . + a n − 1 x y ′ + a n y   . f(x) = x^{n}y^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+...+a_{n-1}xy'+a_ny\,. f(x)=xny(n)+a1xn1y(n1)+...+an1xy+any.

如何解此方程呢?
天才欧拉给出了答案。
他令 x = e t x=e^t x=et
这时我们可以神奇的发现方程已经解出来了
具体我们可以利用链式法则考察:
一阶: d y d t = d y d x ∗ d x d t = y ′ ∗ e t = x y ′ 一阶:\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} *\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} =y'*e^t=xy' 一阶:dtdy=dxdydtdx=yet=xy
二阶: d 2 y d t 2 = d ( d y d t ) d t = d ( x ∗ y ′ ) d x ∗ d x d t = ( y ′ + x y ′ ′ ) ∗ x = x y ′ + x 2 y ′ ′ . . . . . . 二阶:\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2} = \frac{\mathrm{d} (\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t})}{\mathrm{d} t} =\frac{\mathrm{d} (x*y')}{\mathrm{d} x}*\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} =(y'+xy'')*x=xy'+x^2y'' \\. \\.\\.\\.\\.\\. 二阶:dt2d2y=dtd(dtdy)=dxd(xy)dtdx=(y+xy′′)x=xy+x2y′′......

由此可以得到:
x y ′ = d y d t xy'=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} xy=dtdy
x 2 y ′ ′ = d 2 y d t 2 − d y d t = d ( d d t − 1 ) d t y . . . . . x^2y''=\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2}-\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} (\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}-1)}{\mathrm{d} t}y \\. \\. \\. \\. \\. x2y′′=dt2d2ydtdy=dtd(dtd1)y.....

此时我们引入微分算子: D = d d t D=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} D=dtd

则上式可写为: x y ′ = D y xy'=Dy xy=Dy
x 2 y ′ ′ = D ( D − 1 ) Y x^2y''=D(D-1)Y x2y′′=D(D1)Y
同理可得 : x 3 y ′ ′ ′ = D ( D − 1 ) ( D − 2 ) y . . . . . . 同理可得:x^3y'''=D(D-1)(D-2)y \\.\\.\\.\\.\\.\\. 同理可得:x3y′′′=D(D1)(D2)y......

我们来看个2004年数学1的例子:

求欧拉方程 x 2 d 2 y d x 2 + 4 x d y d x + 2 y = 0 ( x > 0 ) 的通解为: y = ? x^2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}+4x\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+2y=0(x>0)的通解为:y=? x2dx2d2y+4xdxdy+2y=0(x>0)的通解为:y=?
解:令 x = e t 则原式为: D ( D − 1 ) y + 4 D y + 2 y = 0 即: D 2 y + 3 D y + 2 y = 0 此时就变成了我们熟悉的线性方程 : r 2 + 3 r + 2 = 0 ( r + 1 ) ( r + 2 ) = 0 r 1 = − 1 , r 2 = − 2 y = C 1 e − t + C 2 e − 2 t = C 1 x + C 2 x 2 解:令x=e^t则原式为:D(D-1)y+4D y+2y=0\\ 即:D^2y+3Dy+2y=0\\ 此时就变成了我们熟悉的线性方程:\\ r^2+3r+2=0\\ (r+1)(r+2)=0\\ r_1=-1,r_2=-2\\ y=C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}=\frac{C_1}{x}+\frac{C_2}{x^2} 解:令x=et则原式为:D(D1)y+4Dy+2y=0即:D2y+3Dy+2y=0此时就变成了我们熟悉的线性方程:r2+3r+2=0(r+1)(r+2)=0r1=1,r2=2y=C1et+C2e2t=xC1+x2C2








这要是还不懂没救了

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