(不会还有人不会做欧拉方程吧)考研数学中的欧拉方程

具有如下结构的变系数线性微分方程被称为欧拉方程：
$$f(x)=x^n{y}^{(n)}+a_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...+a_{n-1}x{y}^{\prime }+a_{n}y.$$

如何解此方程呢？
天才欧拉给出了答案。
他令$$x=e^t$$
这时我们可以神奇的发现方程已经解出来了
具体我们可以利用链式法则考察：
$$一阶：\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\ast \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=y^{\prime }\ast e^t=x{y}^{\prime }$$
$$\begin{gathered} 二阶：\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{\mathrm{d}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(x\ast y^{\prime })}{\mathrm{d}x}\ast \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=(y^{\prime }+x{y}^{\prime \prime })\ast x=x{y}^{\prime }+x^2{y}^{\prime \prime } \\ . \\ . \\ . \\ . \\ . \\ . \end{gathered}$$

由此可以得到：
$$x{y}^{\prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$$
$$\begin{gathered} x^2{y}^{\prime \prime }=\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-1)}{\mathrm{d}t}y \\ . \\ . \\ . \\ . \\ . \end{gathered}$$

此时我们引入微分算子:$$D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$$

则上式可写为：$$x{y}^{\prime }=Dy$$
$$x^2{y}^{\prime \prime }=D(D-1)Y$$
$$\begin{gathered} 同理可得:x^3{y}^{\prime \prime \prime }=D(D-1)(D-2)y \\ . \\ . \\ . \\ . \\ . \\ . \end{gathered}$$

我们来看个2004年数学1的例子：

求欧拉方程$$x^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+4x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y=0(x>0)的通解为：y=?$$
$$\begin{gathered} 解：令x=e^t则原式为：D(D-1)y+4Dy+2y=0 \\ 即：D^{2}y+3Dy+2y=0 \\ 此时就变成了我们熟悉的线性方程: \\ {r}^2+3r+2=0 \\ (r+1)(r+2)=0 \\ {r}_1=-1,r_2=-2 \\ y=C_1{e}^{-t}+C_2{e}^{-2t}=\frac{C_1}{x}+\frac{C_2}{x^2} \end{gathered}$$

这要是还不懂没救了