图与网络——图染色中的Sperner引理

问题背景：

将一个大的三角形三角形化，然后用三种颜色染色，三个大的顶点分别染1，2，3颜色，且边上的点只能染1，2颜色，其他两条边类似，中间的点可以染任意颜色，则一定存在满足三个顶点分别是三种不同颜色的小三角形。

举例：

证明方法1:

对三角形中异色边进行计数，假如没有满足条件的小三角形，异色边的数目应该是偶数；但是在大三角形中，三条边上的异色变的数目一定是奇数，和也是奇数，内部的边因为会被计数两次，一定是偶数，则总的异色边的数目是奇数，推出矛盾。

证明方法2：

每个三角形内部造一个顶点，三角形外一个点，只连会经过（1，2）边的两个点，外部的点一定是奇度点，由于图中奇度点的个数是偶数个，则还有奇数个奇度点。