logistic回归分类与softmax回归

目录

Logistic回归

逻辑回归的定义式:

损失函数

梯度下降

Logistic回归防止过拟合:

Softmax回归:

loss函数

逻辑回归与Softmax回归的联系

与神经网络的关系

logistic回归(多分类)和softmax的关系:

YOLOV3中的逻辑分类应用


Logistic回归

Logistic回归(LR):是一种常用的处理二分类问题的模型。

二分类问题中,把结果y分成两个类,正类和负类。因变量y∈{0, 1},0是负类,1是正类。线性回归的输出值在负无穷到正无穷的范围上,并不好区分是正类还是负类。因此引入非线性变换,把线性回归的输出值压缩到(0, 1)之间,那就成了Logistic回归,使得≥0.5时,预测y=1,而当<0.5时,预测y=0。

logistic回归分类与softmax回归_第1张图片

逻辑回归的定义式:

,x代表样本的特征向量。

其中,

为sigmoid函数,

logistic回归分类与softmax回归_第2张图片

可以理解为预测为正类的概率,即后验概率的取值范围是(0, 1)。。

所以Logistic回归模型就是:

判断类别:

对loss函数求导得到:

logistic回归分类与softmax回归_第3张图片

当类别y=1时,损失随着的减小而增大,为1时,损失为0;

当类别y=0时,损失随着的增大而增大,为0时,损失为0。

损失函数

这个损失函数叫做对数似然损失函数,也叫:交叉熵损失函数(cross entropy loss)。这个损失函数是个凸函数,因此可以用梯度下降法求得使损失函数最小的参数。

梯度下降

logistic回归分类与softmax回归_第4张图片

Logistic回归防止过拟合:

在损失函数中加入参数θj的L2范数,限制θj的大小,以解决过拟合问题,那么加入正则化项的损失函数为:

logistic回归分类与softmax回归_第5张图片

相应的,此时的梯度下降算法为:

重复以下步骤直至收敛:

logistic回归分类与softmax回归_第6张图片

Softmax回归:

Softmax回归处理多分类问题,假设函数 形式如下:

和逻辑回归一样,得到:

loss函数

其中的1{.}是一个指示性函数,即当大括号中的值为真时,该函数的结果就为1,否则其结果就为0。

然后计算损失函数的偏导函数,得到:


 
之后就可以用如果要用梯度下降法,或者L-BFGS法求得未知参数。

 

看上面的推到我们可以发现,对每一个参数减去一个参数,最后的结果没有影响。其实softmax 回归中对参数的最优化解不只一个,每当求得一个优化参数时,如果将这个参数的每一项都减掉同一个数,其得到的损失函数值也是一样的,这说明解不是唯一的。

之所以会出现这样的现象,因为损失函数不是严格非凸的,也就是说在局部最小值点附近是一个”平坦”的,所以在这个参数附近的值都是一样的了。
为避免出现这样的情况,加入正则项(比如说,用牛顿法求解时,hession矩阵如果没有加入规则项,就有可能不是可逆的从而导致了刚才的情况,如果加入了规则项后该hession矩阵就不会不可逆了),加入正则项后的loss函数表达式为:

加入正则项后的loss函数
 
此时loss函数的偏导函数为:
 

同样的,我们在逻辑回归中,也可以加上正则项。

逻辑回归与Softmax回归的联系

softmax 回归是逻辑回归的一般形式,两者之间的联系:当类别数k = 2 时,softmax 回归退化为逻辑回归,softmax 回归的假设函数为:
 
利用softmax回归参数冗余的特点,我们令 ,并且从两个参数向量中都减去向量,得到:


 
因此,用来表示,我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为,另一个类别概率的为,这与逻辑回归是一致的。

与神经网络的关系


神经网络是一个多层次的分类模型,其实logistic回归和softmax回归可以看出最简单的神经网络,结构如下图所示:


  
一般的神经网络有输入层,隐含层以及输出层构成,而上图中只有输入层和输出层,而没有隐含层。神经网络处理二分类时,输出层为一个节点,但处理K(K>2)分类问题时,数据节点为K个,这个logistic回归和softmax回归保持一致。值得注意的,在神经网络中的最后一层隐含层和输出层就可以看成是logistic回归或softmax回归模型,之前的层只是从原始输入数据从学习特征,然后把学习得到的特征交给logistic回归或softmax回归处理。
因此,可以把处理分类问题的神经网络分成两部分,特征学习和logistic回归或softmax回归。

logistic回归(多分类)和softmax的关系:

我们已经知道,普通的logistic回归只能针对二分类(Binary Classification)问题,要想实现多个类别的分类,我们必须要改进logistic回归,让其适应多分类问题。

关于这种改进,有两种方式可以做到。

第一种方式是直接根据每个类别,都建立一个二分类器,带有这个类别的样本标记为1,带有其他类别的样本标记为0。假如我们有k个类别,最后我们就得到了k个针对不同标记的普通的logistic分类器。

第二种方式是修改logistic回归的损失函数,让其适应多分类问题。这个损失函数不再笼统地只考虑二分类非1就0的损失,而是具体考虑每个样本标记的损失。这种方法叫做softmax回归,即logistic回归的多分类版本。

我们首先简单介绍第一种方式。

对于二分类问题,我们只需要一个分类器即可,但是对于多分类问题,我们需要多个分类器才行。假如给定数据集X\epsilon R^{^{m\times n}},它们的标记Y\epsilon R^{^{k}},即这些样本有k个不同的类别。

我们挑选出标记为c(c\leq k)的样本,将挑选出来的带有标记c的样本的标记置为1,将剩下的不带有标记c的样本的标记置为0。然后就用这些数据训练出一个分类器,我们得到h_{c}(x)(表示针对标记c的logistic分类函数)。

按照上面的步骤,我们可以得到k个不同的分类器。针对一个测试样本,我们需要找到这k个分类函数输出值最大的那一个,即为测试样本的标记:

下面我们介绍softmax回归。

对于有k个标记的分类问题,分类函数是下面这样:

在这里,我们将上式的所有的组合起来,用矩阵\Theta_{1},\Theta_{2}....\Theta_{k}来表示,即:\

这时候,softmax回归算法的代价函数如下所示(其中sign(expression is true)=1):

我们可以把logistic回归的损失函数改为如下形式:

很显然,softmax是logistic的推广,一般化。

但是,需要特别注意的是,对于p(y^{(i)}=c|x^{(i)},\Theta ),softmax回归和logistic回归的计算方式是不同的(不大明白哪里不同),不管是二分类还是多分类,都是一个主要区别。

对于选择softmax分类器还是k个logistic分类器,取决于所有类别之间是否互斥。所有类别之间明显互斥用softmax分类器,所有类别之间不互斥有交叉的情况下最好用k个logistic分类器。

参考:logistic回归(二分类)和Softmax回归的关系、logistic回归(多分类)和Softmax的关系_hahaha_2017的博客-CSDN博客_softmax 逻辑回归

YOLOV3中的逻辑分类应用

先回顾下YOLOv1的损失函数

logistic回归分类与softmax回归_第7张图片

yolov2的损失函数
只是在yolov1基础上改动了关于bbox的w和h的损失计算方式 即从:

去掉了w和h的二次根号,作者认为没有必要。

YOLOv3的损失函数
是在yolov2基础上改动的,最大的变动是分类损失换成了二分交叉熵,这是由于yolov3中剔除了softmax改用logistic。

logistic回归分类与softmax回归_第8张图片

一项一项分析损失函数

  • 中心坐标误差

  • 置信度误差

logistic回归分类与softmax回归_第9张图片

首先需要知道,置信度误差使用交叉熵来表示。另外需要清楚不管anchor box是否负责某个目标,都会计算置信度误差。因为置信度表示:框出的box内确实有物体的自信程度和框出的box将整个物体的所有特征都包括进来的自信程度。具体可以参考博客。
损失函数分为两部分:有物体,没有物体,其中没有物体损失部分还增加了权重系数。添加权重系数的原因是,对于一幅图像,一般而言大部分内容是不包含待检测物体的,这样会导致没有物体的计算部分贡献会大于有物体的计算部分,这会导致网络倾向于预测单元格不含有物体。因此,我们要减少没有物体计算部分的贡献权重,比如取值为:0.5。
第一项是:存在对象的bounding box的置信度误差。带有I_{ij}^{obj} 意味着只有"负责"(IOU比较大)预测的那个bounding box的置信度才会计入误差。
第二项是:不存在对象的bounding box的置信度误差。因为不存在对象的bounding box应该老老实实的说"我这里没有对象",也就是输出尽量低的置信度。如果它不恰当的输出较高的置信度,会与真正"负责"该对象预测的那个bounding box产生混淆。其实就像对象分类一样,正确的对象概率最好是1,所有其它对象的概率最好是0。

  • 分类误差

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首先需要知道分类误差也是选择了交叉熵作为损失函数。当第i个网格的第j个anchor box负责某一个真实目标时,那么这个anchor box所产生的bounding box才会去计算分类损失函数。


参考:【论文理解】yolov3损失函数_DLUT_yan的博客-CSDN博客_yolov3损失函数

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