机器学习第11章 特征选择与稀疏学习
第十一章 特征选择与稀疏学习
11.1 子集搜索与评价
对当前学习任务有用的属性称为“相关特征 ”、没什么用的属性称为“无关特征”。从给定的特征集合中选择出相关特征子集的过程，称为“特征选择”。
特征选择是一个重要的“数据预处理”过程，获取数据之后通常先进行特征选择，此后在训练学习器。
为什么要进行特征选择？原因：①为了解决属性过多导致的维数灾难问题；②去除不相关的特征往往会降低学习任务的难度。-
如何从初始的特征集合中选取一个包含所有重要信息的特征子集？产生一个“候选子集”，评价其好坏，基于评价结果产生下一个候选子集，再对其进行评价，直到无法找到更好的候选子集为止。
第一个环节是“子集搜索”，给定特征集合，我们可以将每个特征看做一个候选子集，对这d个候选单特征子集进行评价，假定{$ a_2 $}最优，于是将其作为第一轮的选定集；然后在上一轮的选定集中加入一个特征，然后再进行评价。。。假定在第k+1轮时，最优的候选k+1特征子集不如上一轮的选定集，则停止生成候选子集，并将上一轮选定的k特征集合作为特征选择结果。这样逐渐增加相关特征的策略称为“前向搜索”，类似的，如果我们从完整的特征集合开始，每次尝试去掉一个无关特征，这样逐渐减少的特征策略称为“后向搜索”。还可以将前向搜索与后向搜索结合起来，每一轮逐渐增加选定相关特征、同时减少无关特征，这样的策略称为“双向”搜索。
第二个环节是`“子集评价”`问题，属性子集A的信息增益：[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-EnslYXPn-1571887007014)(C:\Users\Administrator\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\1571881580331.png)]
其中信息熵定义为：[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-sQ8H6v2I-1571887007016)(C:\Users\Administrator\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\1571881624817.png)]
信息增益越大，意味着特征子集包含的有助于分类的信息越多，因此，我们可基于训练数据D来计算其信息增益，以此作为评价准则。
更一般的，特征子集A是加上确定了对数据集D 的一个划分，每个划分区域对应着A上的一个取值，而样本标记信息Y则对应着对D的真是划分，通过估算这两个划分的差异，就能对A进行评价。
将特征子集搜索与子集评价机制相结合，即可得到特征选择方法。
常见的特征选择方法大致可分为三类：过滤式、包裹式和嵌入式。
11.2 过滤式选择
过滤式方法先对数据集进行特征选择，然后再训练学习器，特征选择与后续学习器无关。这相当于先用特征特征选择过程对初始特征进行过滤，再用过滤后的特征来训练模型。
Relief是一种著名的过滤式特征选择方法。该方法利用“相关统计量”来度量特征的重要性。该统计量是一个向量，每个分量分别对应于一个初始特征，而特征子集的重要性则是由子集中每个特征所对应的相关统计量分量之和来决定。最终只需制定一个阈值，然后选择比阈值大的相关统计量的分量所对应的特征即可。
如何确定相关统计量？给定训练集
( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x m , y m ) {(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_m,y_m)} (x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym)
对每个示例xi，Relief先在其同类样本中寻找其最近邻，称为“猜中近邻",再从xi的异类样本中寻找其最近邻，称为”猜错近邻’’,然后相关统计量对应于属性j的分量为
若xi与其猜中近邻在属性j上的距离小于xi与其猜错近邻的距离，则说明属性j对区分同类与异类样本是有益的，于是增大属性j所对应的统计量分量；反之，若大于，则说明属性j其负面作用，于是减小属性j所对应的统计量分量。最后对基于不同样本得到的估计结果进行平均，就得到各属性的相关统计量分量，分量值越大，则对应属性的分类能力就越强。
11.3 包裹式选择
与过滤式特征选择不考虑后续学习器不同，包裹式特征选择直接把最终将要使用的学习器性能作为特征子集的评价准则。为给定学习器选择最有利于其性能、“量身定做”的特征子集。
LVW是一个典型的包裹式特征选择方法。它在拉斯维加斯框架下使用随机策略来进行子集搜索，并以最终分类器的误差为特征子集评价准则。
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LVM算法第8行是通过在数据集D上，使用交叉验证法来估计学习器上的误差，注意这个误差是在仅考虑特征子集A’时得到的，若它比当前特征子集A上的误差更小，或误差相当但A‘中包含的特征数更少，则将A’保留下来。
嵌入式选择与L1正则化
嵌入式特征选择是将特征选择过程与学习器训练过程融为一体，两者在统一优化过程中完成，即在学习器训练过程中自动地进行了特征选择。
给定数据集D ，我们考虑最简单的线性回归模型，以平方误差为损失函数，则优化目标为
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当样本特征很多但是样本数相对较少时，上式很容易陷入过拟合，为了缓解过拟合，可引入正则化项。若使用L_2范数正则化，能显著降低过拟合风险。
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-nxJFUZar-1571887007020)(C:\Users\Administrator\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\1571884508458.png)]
可将正则化项中的L2范数替换为Lp范数。令p=1,即采用L1范数，则有
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-V2434Sfq-1571887007020)(C:\Users\Administrator\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\1571884598419.png)]
L1和L2范数正则化都有助于降低过拟合风险，但前者还会带来一个额外的好处：它比后者更容易得到稀疏解，即他求得的 ω \omega ω会有更少的非零向量。
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-qMAR4Tqz-1571887007021)(C:\Users\Administrator\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\1571885003926.png)]
注意到 ω \omega ω取得稀疏解意味着初始的d个特征中仅有对应着 ω \omega ω的非零分量特征才会出现在最终模型中，于是，求解L1范数正则化的结果是仅得到了采用一部分初试特征的模型；因此，基于L1正则化的学习方法就是一种嵌入式特征选择方法，其特征选择过程与学习器训练过程融为一体，同时完成。
L 1 L_1 L1 正则化问题的求解可以使用近端梯度下降（PGD），对优化目标
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若 f ( x ) f(x) f(x)可导，即存在常数L>0，使得
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