在此记录自己学习投影矩阵中遇到的问题和想法。
最好请查阅关于opengl与d3d中投影矩阵推导的相关博客，再看此篇。（主要是记录给自己看,帮助理解，以供以后修正优化，举一反三之用，所以会有晦涩或者不详细之处，请谅解，如果能帮助到正好需要的小伙伴那就更好了，自己也是图形学的初学者，欢迎交流和指正）。
D3D中 投影矩阵的推导：http://blog.csdn.net/zhanghua1816/article/details/23121735
OpenGL学习脚印: 投影矩阵的推导 ： http://blog.csdn.net/pizi0475/article/details/46794263
两者都是关于投影矩阵的推导思路和相关公式，区别是一个是opengl版本一个是d3d版本，具体差别是两者的默认坐标系（前者中的眼坐标系）不同（opengl是右手坐标系，d3d是左手坐标系），归一化设备坐标系（两者都是右手坐标系，所以数值中带负号的一般是opengl的投影矩阵，不带的就是D3D（其实这么说，很不完善。），两篇文章中都用列矩阵来表述投影矩阵，这点要注意）大小不同（主要是Z值的范围不同，opgl版本中称为 NDC（normalized device coordination），d3d版本中称为 规范视域体(canonical view volume)），所以就导致最后的成像投影矩阵略有差别（原理和过程其实相似，表述的差别而已）。
对了，插一个概念，由于投影变换，是与摄像头的方位都有关系的（设想一个旋转或者平移的摄像机，它所呈献的画面肯定是变化的），而这与投影矩阵没有关系，因为投影矩阵把这些条件先确定下来（比如始终位于原点，方向始终是Z轴平行（opengl中是Z轴负方向，d3d中是Z轴正方向））。而比如摄像机的方位对于最后成像的影响，在此投影矩阵得出后，再叉乘该摄像机方位矩阵，就可以了。（其实就是成像先后的关系和矩阵的相互关系思考清楚就可以了，投影矩阵是确定视椎体后的固有属性，与摄像机的方位无关，与成像有关。又可以说投影矩阵其实就是确认视椎体的形状，大小与NDC形状之间的对应关系而已。）
但是这边特地给出两个版本的链接，并不是要画蛇添足的介绍两次。其实是两者的推导略有不同。或者详略各有差异，结合来看才能更清楚，投影矩阵的原理和推导的过程。
推荐先看D3D版本的推导，因为其中先介绍了正交投影（Orthographic Projection）的推导过程及原理。正交投影就是将裁剪后的视域（称为view volume）坐标转换到NDC中，就是两个变换——平移（使得原点重合）和缩放（使得大小相同），由于是平移和缩放，变换顺序可以交换（矩阵叉乘的顺序是不能随便变换的，此处特殊（由矩阵叉乘的特性来决定的，详细的解释可以查阅相关资料））。
投影矩阵的推导原理，这边也要解释下这两篇文章没有详细说明的地方，就是通过射线投影的原理得到近界面的对应点，但是此近截面上的点并不是最后NDC中的最后目标点，但是可以根据此点的x，y坐标得到最后目标点的x，y坐标与原始x与y的关系，但是因为近截面的z值始终是n，也就是舍弃了沿着投影原点射出的射线上的Z值，要理清这个概念，那z值的对应关系怎么确认呢，就是通过齐次变化中的w值，来做减维处理（具体看opengl那篇文章，说的明白些，推荐结合3d基础数学：图形与游戏开发中的投影变换来理解）。（再插一句，就是要理解任何一个维度的点，都可以用更高维度的形式去表示，简单来说比如二维空间中的A点（x，y）到三维空间中就可以表示（x，y，1），可以理解为投射到z=1平面上的点（（x，y，1）投影到z=1平面不就是它本身么？扩展开来说（x*z，y*z,z）这个集合里的点投影到z=1的平面上时，都与（x，y，1）重合，也就可以说是同一点。所以以此来理解4维甚至更高维度的现象（其实，我也很难想象更高维度的具体表现，我觉得是无法用这种3维坐标系表示图去展示4维甚至更高维投影到低维的表现，但是可以从数学层面去推。）同理，3维空间中的（x,y,z）点就是4维空间中的（x，y，z，1）点，也就是和（x*w，y*w，z*w，w）点关于w=1的平面上的投影点重合（其实这么说不对，应该说是w=1的3d坐标系重合）。这也是下面推导的思考基础。））
通过相似三角形原理和正交投影的公式和推导过程我们知道了
，那怎么消除z值呢？怎么得到z'与z的关系呢？（这里暂时都用d3d公式）
貌似想不出来，只能按照文章中的方法，试图去求z'z的值，然后通过（x'z，y'z,z'z,z）投影到w = 1 的3d坐标系中不就是（x',y',z',1）该点么。该投影过程就是降维过程，也就是齐次变换。
那现在的问题就是怎么求得（x,y,z,1）到（x'z,y'z,z'z,z）的变换矩阵了。这就是透视投影矩阵~！
然后就是文章中的，根据先求的这个4x4矩阵的第一行，第二行（列向量），也就是[2n/(r-l),0,-(r+l)/(r-l),0]和[2n/(t-b),0,-(t+b)/(t-b),0].
然后第四行的[a4,b4,c4,d4]*[x,y,z,1] = z,因此第四行为[0,0,1,0]
那么只剩第三行[a3,b3,c3,d3]求值了。a3*x+b3*y+c3*z+d3 = z'z;其实x，y的值不能影响到z'与z的对应关系，所以其对应系数就应该是0，所以变成 c3*z+d3 = z'z，转成z‘=c3+d3/z；发现两者原来是倒数关系。（这也是z-fighting的原因，当然了只要精度足够大就没有z-fighting问题，但是问题就是浮点数的精度是有限制的。）然后带入两对已知值，z’=NDC中的最小值时，z也是近界面上的值，即z'=0，z=n。z’=NDC的最大值时，z也是远截面上的值，即z‘=1，z=f；
求得 第三行就是[0,0,f/(f-n),-fn/(f-n)]
因此
别忘了将结果做其次变换后得到（x’,y',z',1）;