信号处理：＜三＞ DFT和FFT

   DFT，即离散傅里叶变化，是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。

1、 DFT数学表达式

$$X[k]=\sum _{n=0}^{N}x[n]W_N^{kn}=\sum _{n=0}^{N}x[n]e^{-j\frac{2\pi k\mathrm{n}}{N}}$$
其中$0\le k\le N$。
   从上式可以看出，做DFT需要$N^2$次复数乘法和$N(N-1)$次复数加法【求一个点X[k]需要$N$次复数乘法和$N-1$次复数加法】，而一次复数乘法又由4次实数乘法和2次实数加法构成，一次复数加法由2次实数加法构成，具体解释如下：
$$\begin{array}{l}\left(a+jb\right)\bullet \left(c+jd\right)=\left[ac-bd\right]+j\left[ad+bc\right]\\ \left(a+jb\right)+\left(c+jd\right)=\left[a+c\right]+j[b+d]\end{array}$$因此，作DFT需要$4N^2$次实数乘法和$(2N^2+2N^2-2N)或[2(2N^2-N]$次实数加法。为了降低复杂度，引出了FFT算法，其思想为用分解的思想将N点DFT的计算依次分解为尺寸较小的DFT计算并利用复数$W_N^{kn}$的周期性和对称性计算。

2 、$W_N^{kn}$的理解

  $W_N^{kn}=e^{-j2\pi kn/N}=cos(j2\pi kn/N)-jsin(j2\pi kn/N)$,$W_N^{kn}$是$W_N$的kn次幂，$W_N^1=e^{-j2\pi kn/N}=cos(j2\pi /N)-jsin(j2\pi /N)$，$W_N^1$可以理解为将单位圆360角化为$N$份，因此$W_N^{1}实际上就是一个在复平面单位圆上旋转的值。如下图所示：将单位圆对应的360划分为8份，则每一份所对应的为45度。

从图中不难得出旋转因子的性质：
a）周期性：$W_N^{a+N}=W_N^a$
b) 对称性：$W_N^{a+N/2}=-W_N^a$
c) 缩放性：$W_N^2=-W_{N/2}^1$

2 、FFT的理解

2.1 基于时间的傅里叶变化

如图所示：$x(n)$分解为偶数与奇数的两个序列之和，即

$x1(n)$和$x2(n)$的长度都是$N／2$，$x_1(n)$是偶数序列，$x_2(n)$是奇数序列，$x_1(n)=x(2n)$,$x_2(n)=x(2n+1)$,$n=0,1...N/2-1$。则
$$X(k)=\sum _{n=0(n为偶数)}^{N}x[n]W_N^{kn}+\sum _{n=0(n为奇数)}^{N}x[n]W_N^{kn}=\sum _{n=0}^{N/2-1}{x}_1[n]W_N^{2kn}+\sum _{n=0}^{N/2-1}x[n]W_N^{k(2n+1)}$$
其中$X_1(k)$和$X_2(k)$分别为$x_1(n)$和$x_2(n)$的N／2点DFT。
$$X_1[k]=\sum _{n=0}^{N/2-1}{x}_1[n]W_{N/2}^{kn}$$
$$X_2[k]=\sum _{n=0}^{N/2-1}{x}_2[n]W_{N/2}^{kn}$$
由于$X_1(k)$和$X_2(k)$均以N／2为周期，且由对称性知$W_N^{k+N/2}=-W_N^k$，所以X(k)又可表示为：

上式的运算可以用下图表示，根据其形状称之为蝶形运算。

从上图可以看出将N点DFT分解为N／2个两点DFT，计算一个碟形运算需要1次复数乘法和2次复数加法。以最开始给的N=8为例，
计算一个$N$点的DFT需要计算两个$N/2$的DFT和N/2的蝶形运算，依次类推，可以发现，计算N点的DFT最终可以分成N/2个两个的DFT，通过归纳可以发现，N点的DFT总共可以分为$lo{g}_2^N$级，每级有$N/2$个蝶形运算构成，因此每级总共有$N/2次$复乘和$N$次复加，一个$N$点的DFT总共有$N/2lo{g}_2^N$次复数乘法和$Nlo{g}_2^N$
  直接计算DFT和利用FFT计算DFT的运算量对比如下图所示：

3、编程思想

3.1 原位计算

4、反傅里叶变化

5、 参考资料

【1】快速傅里叶变换FFT解析
【2】快速傅里叶变换(FFT)的推导过程(DIT)
【3】快速傅里叶变换FFTppt课件.ppt
【4】1024点fft原理及fpga实现
【5】快速傅里叶变换FFT-PPT（精