离散数学 第二章 一阶谓词逻辑

目录

2.1 量词化逻辑

2.1.1 三个定义

2.2 谓词公式及其赋值

2.3 谓词公式的等价与范式等价

2.4 谓词公式的蕴涵

2.4.1 谓词演算中的蕴涵式(重中之重!!!)

2.5 谓词逻辑的推理方法

2.5.1 推理规则

2.5.2 推理方法


2.1 量词化逻辑

1.谓词

2.量词

3.全总个体域

4.自由变元与约束变元

5.两个量词量化谓词的真值

a.谓词一般用大写字母(串)表示

b.个体用小写字母表示(客体)

0元谓词就是命题;命题是谓词的特殊情况,谓词是命题的扩充。

2.1.1 三个定义

定义1:全总个体域(全论域)E——把各种个体域综合在一起作为论述范围的域

定义2:量词——\forall x全称量词,\exists x存在量词,x称为作用变量

        特殊谓词:1)\forall x而言,作为蕴涵的前件加入(—>)

                          2)\exists x而言,作为合取式之合取项加入(\wedge

离散数学 第二章 一阶谓词逻辑_第1张图片

定义3:自由变元和约束变元

eg.\forall x\forall y(P(x,y)\wedgeQ(y,z))\wedge\exists xP(x,y)

        \forall x\forall y的辖域是 P(x,y)\wedgeQ(y,z),其中x,y为约束变元,z为自由变元;

       \exists x的辖域是P(x,y),其中x为约束变元,y为自由变元。

2.2 谓词公式及其赋值

定义1:四类符号——常量符号、变量符号、函数符号、谓词符号

定义2:谓词逻辑中的项:1)任意的常量符号是项

                                         2)任意的变量符号是项

                                         3)f(x1,x2,...,xn)是n元函数符号—>项

※含有量词的公式的解释

2.3 谓词公式的等价与范式等价

定义1:A,B是以D为论域的谓词公式,若在任一解释下,A,B取值相同则A,B在D上是等价的,A<=>B

定理1:量词否定(只列出了较难的)

E25:\sim (\forall x)P(x)\Leftrightarrow (\exists x)(\sim P(x))

E26:\sim (\exists x)P(x)\Leftrightarrow (\forall x)(\sim P(x))

定理2:量词辖域的扩充与收缩(Q是不含指导变元的谓词公式)

离散数学 第二章 一阶谓词逻辑_第2张图片

※同性质的量词可以交换顺序

        \exists x\exists yA(x,y)\Leftrightarrow \exists y\exists xA(x,y)

定义2:前束范式——A=(Q1X1)...(QiXi)G,其中QiXi是,G是不含量词的公式,G是A的母式。

※量词不能是否定

1.若在母式G是合取(或析取)范式,相应地称这个前束合取(或析取)范式。

2.Skolem范式——不含存在量词的前束合取范式

※(Q1X1)(Q2X2)...(QnXn)G

1)若Q1X1,则选择一个G中未使用过的常量标识符代替G中全部X1,然后删去Q1X1

2)若i>1,选择一个在G中未使用过的函数标识符,并用g(x1,x2,...,xi-1)去代替G中的全部xi,然后删去QiXi

!!取代存在量词时使用的常量标识符/函数——Skolem函数

定义2:前束范式——A=(Q1X1)...(QiXi)G,其中QiXi是,G是不含量词的公式,G是A的母式。

2.4 谓词公式的蕴涵

定义1:A,B是以D为论域的两个谓词公式,在任一解释下,当A取1时,B也取1,则称A蕴涵B,A=>B

2.4.1 谓词演算中的蕴涵式(重中之重!!!

I13:(\forall x)(P(x)\rightarrow Q(x))\Rightarrow (\forall x)P(x)\rightarrow (\forall x)Q(x)

I14:(\exists x)P(x)\rightarrow (\forall x)Q(x)\Rightarrow (\forall x)(P(x)\rightarrow Q(x))

I15:(\forall x)(P(x)\leftrightarrow Q(x))\Rightarrow (\forall x)P(x)\leftrightarrow (\forall x)Q(x)

I11:(\forall x)P(x)\vee (\forall x)Q(x)\Rightarrow (\forall x)(P(x)\vee Q(x))

I12:(\exists x)(P(x)\wedge Q(x))\Rightarrow (\exists x)P(x)\wedge (\exists x)Q(x)

2.5 谓词逻辑的推理方法

掌握谓词逻辑的推理方法

掌握消解(归结)法

2.5.1 推理规则

1.US规则:(\forall x)G(x)\Rightarrow G(c)/(\forall x)G(x)\Rightarrow G(y)

2.UG规则:G(y)\Rightarrow (\forall x)G(x)

3.ES规则:(\exists x)G(x)\Rightarrow G(c)

4.EG规则:G(c)\Rightarrow (\exists x)G(x)

2.5.2 推理方法

1.直接证明

2.CP规则证明

3.反证法

!!在使用前提时,尽量先使用\exists前提

补充:

消解证明的过程

1.将结论的否定作为附加前提,与原有前提一起转化为skolem范式

2.在此基础上利用代换进行消解

注意:在推导过程中,若既要使用US规则又要使用规则ES消去公式中的量词

(要先使用ES,再用US)!!

你可能感兴趣的:(离散数学,数学)