离散数学 第二章 一阶谓词逻辑

目录

2.1 量词化逻辑

2.1.1 三个定义

2.2 谓词公式及其赋值

2.3 谓词公式的等价与范式等价

2.4 谓词公式的蕴涵

2.4.1 谓词演算中的蕴涵式（重中之重！！！）

2.5 谓词逻辑的推理方法

2.5.1 推理规则

2.5.2 推理方法

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2.1 量词化逻辑

1.谓词

2.量词

3.全总个体域

4.自由变元与约束变元

5.两个量词量化谓词的真值

a.谓词一般用大写字母（串）表示

b.个体用小写字母表示（客体）

※0元谓词就是命题；命题是谓词的特殊情况，谓词是命题的扩充。

2.1.1 三个定义

定义1：全总个体域（全论域）E——把各种个体域综合在一起作为论述范围的域

定义2：量词——全称量词，存在量词，x称为作用变量

        特殊谓词：1)而言，作为蕴涵的前件加入（—>）

                          2)而言，作为合取式之合取项加入（）

定义3：自由变元和约束变元

eg.(P(x,y)Q(y,z))P(x,y)

        的辖域是 P(x,y)Q(y,z)，其中x,y为约束变元，z为自由变元；

       的辖域是P(x,y)，其中x为约束变元，y为自由变元。

2.2 谓词公式及其赋值

定义1：四类符号——常量符号、变量符号、函数符号、谓词符号

定义2：谓词逻辑中的项：1)任意的常量符号是项

                                         2）任意的变量符号是项

                                         3）f(x1,x2,...,xn）是n元函数符号—>项

※含有量词的公式的解释

2.3 谓词公式的等价与范式等价

定义1：A，B是以D为论域的谓词公式，若在任一解释下，A，B取值相同则A，B在D上是等价的，A<=>B

定理1：量词否定（只列出了较难的）

E25:

E26:

定理2：量词辖域的扩充与收缩（Q是不含指导变元的谓词公式）

※同性质的量词可以交换顺序

        

定义2：前束范式——A=(Q1X1)...(QiXi)G，其中QiXi是，G是不含量词的公式，G是A的母式。

※量词不能是否定

1.若在母式G是合取（或析取）范式，相应地称这个前束合取（或析取）范式。

2.Skolem范式——不含存在量词的前束合取范式

※（Q1X1)(Q2X2)...(QnXn)G

1）若Q1X1，则选择一个G中未使用过的常量标识符代替G中全部X1，然后删去Q1X1

2）若i>1，选择一个在G中未使用过的函数标识符，并用g(x1,x2,...,xi-1）去代替G中的全部xi，然后删去QiXi

！！取代存在量词时使用的常量标识符/函数——Skolem函数

定义2：前束范式——A=(Q1X1)...(QiXi)G，其中QiXi是，G是不含量词的公式，G是A的母式。

2.4 谓词公式的蕴涵

定义1：A，B是以D为论域的两个谓词公式，在任一解释下，当A取1时，B也取1，则称A蕴涵B，A=>B

2.4.1 谓词演算中的蕴涵式（重中之重！！！）

I13:

I14:

I15:

I11:

I12:

2.5 谓词逻辑的推理方法

掌握谓词逻辑的推理方法

掌握消解（归结）法

2.5.1 推理规则

1.US规则：/

2.UG规则:

3.ES规则:

4.EG规则:

2.5.2 推理方法

1.直接证明

2.CP规则证明

3.反证法

！！在使用前提时，尽量先使用前提

补充：

消解证明的过程

1.将结论的否定作为附加前提，与原有前提一起转化为skolem范式

2.在此基础上利用代换进行消解

注意：在推导过程中，若既要使用US规则又要使用规则ES消去公式中的量词

（要先使用ES，再用US）！！！