数学建模学习笔记——预测类型1

数学建模学习笔记——预测类型1

雨中漫步

预测的方法比较多，包含统计分析法，弹性系数法，灰色预测法，模糊数学法，神经网络法，优选组合法和小波分析法等等，下面让我来介绍一下

灰色预测模型(Grey Model,GM)

特点：模型使用的是生成的数据序列，而不是传统的原始数据序列，其核心是灰色模型，对原始数据进行方法生成得到近似指数规律在进行建模。
优点：不需要很多数据就可以解决历史数据少，序列的完整性和可靠性的问题；运算简单，利于检验；不考虑分布规律和趋势。
缺点：只适用于中短期的预测，不适用于非指数增长的预测

###GM(1,1)模型预测步骤
####(1)数据的检验与处理
对已知的数据列作一定检验处理。设参考数据为：$\left( x^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) ,x^{\left( 0 \right)}\left( 2 \right) …x^{\left( 0 \right)}\left( n \right) \right) $，计算序列的级比：
$$\lambda \left(k\right)=\frac{x^{\left(0\right)}\left(k-1\right)}{x^{\left(0\right)}\left(k\right)},k=2,3...$$

若所有级比都在可溶覆盖$\left( e^{{-\frac{2}{n+1}},e}{\frac{2}{n+2}} \right) $内，则可以对序列做GM(1,1)灰色预测，否则需要一定变换将其变为符合要求的序列，一般我们做的是平移变换。

####建立模型
对序列做一次累加处理后生成：
$$\left(x^{\left(1\right)}\left(1\right),x^{\left(1\right)}\left(2\right)...x^{\left(1\right)}\left(n\right)\right)$$
其中：$x^{\left(1\right)}\left(k\right)={\sum }_{i=1}^k{x}^{\left(1\right)}\left(i\right)$

做均值生成序列：
$$z^{\left(1\right)}\left(k\right)=0.5x^{\left(1\right)}\left(k\right)+0.5x^{\left(1\right)}\left(k-1\right)$$

建立灰微分方程：
$$x^{\left(0\right)}\left(k\right)=a{z}^{\left(1\right)}\left(k\right)=b$$
相应的白化微分方程为：
$$d{x}^{\left(1\right)}/dt=a{x}^{\left(1\right)}\left(t\right)=b$$
利用最小二乘法并求出：
$${\stackrel{\wedge }{x}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)=\left({\stackrel{\wedge }{x}}^{\left(0\right)}\left(0\right)-\frac{\stackrel{\wedge }{b}}{\stackrel{\wedge }{a}}\right)e^{-\stackrel{\wedge }{a}k}+\frac{\stackrel{\wedge }{b}}{\stackrel{\wedge }{a}}$$
并且：${\stackrel{\wedge }{x}}^{\left(0\right)}\left(k+1\right)={\stackrel{\wedge }{x}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)-{\stackrel{\wedge }{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right)$

####检验预测值
(1)残差检验。令残差为$\xi \left(k\right)$,计算：
$$\xi \left(k\right)=\frac{x^{\left(0\right)}\left(k\right)-{\stackrel{\wedge }{x}}^{\left(0\right)}\left(k\right)}{x^{\left(0\right)}\left(k\right)}$$
如果\xi \left( k \right)<0.2，则可认为达到一般要求。如果\xi \left( k \right)<0.1,则可认为达到较高要求。

(2)级比偏差检验。首先利用数据计算出$\lambda \left(k\right)$再用发展系数$a$求出级比偏差：
$$\rho \left(k\right)=1-\left(\frac{1-0.5a}{1+0.5a}\right)\lambda \left(k\right)$$

####预测预报
由GM(1,1)模型可得到指定失去的预测值，根据实际问题的需要，给出相应的预测报告