【机器学习】（二）——如何评价模型的好坏

学习目标：

1、数据拆分：训练数据集&测试数据集

2、评价分类结果：精准度、混淆矩阵、精准率、召回率、F1 Score、ROC曲线等

3、评价回归结果：MSE、RMSE、MAE、R Squared

知识整理：

【1】

  模型训练好之后，需要评价模型的好坏，但是测试数据也是需要有对应分类结果的，这时就需要从已有数据中分出测试集和训练集。

  我们需要将原始数据中的一部分作为训练数据、另一部分作为测试数据。使用训练数据训练模型，再用测试数据看好坏。即通过测试数据判断模型好坏，然后再不断对模型进行修改。

鸢尾花数据集（简介）是UCI数据库中常用数据集。我们可以直接加载数据集，并尝试对数据进行一定探索：

iris_train_test.py：

import numpy as np
from sklearn import datasets
import matplotlib.pyplot as plt

iris = datasets.load_iris()

X = iris.data
y = iris.target

print(X.shape)
# 输出：(150, 4)

print(X.shape)
# 输出：(150,)

# 一般情况下我们按照0.8:0.2的比例拆分训练集与测试集
# 但是有时候我们不能简单地把前n个数据作为训练数据集，后n个作为测试数据集
# 比如数据集有序，那么取前n个数据集（可能都是同一类别）容易使测试不准确

# ****解决方案****
# 1、将X和y合并为同一个矩阵，然后对矩阵进行shuffle，之后再分解
# 2、对y的索引进行乱序，根据索引确定与X的对应关系，最后再通过乱序的索引进行赋值

# 方法一：
# 使用concatenate函数进行拼接，因为传入的矩阵必须具有相同的形状
# 因此需要对label进行reshape操作，reshape(-1,1)表示行数自动计算，1列。axis=1表示纵向拼接
tempConcat = np.concatenate((X, y.reshape(-1,1)), axis=1)

# 拼接好后，直接进行乱序操作
np.random.shuffle(tempConcat)

# 再将shuffle后的数组使用split方法拆分
shuffle_X,shuffle_y = np.split(tempConcat, [4], axis=1)

# 设置划分的比例
test_ratio = 0.2
test_size = int(len(X) * test_ratio)
X_train = shuffle_X[test_size:]
y_train = shuffle_y[test_size:]
X_test = shuffle_X[:test_size]
y_test = shuffle_y[:test_size]

print(X_train.shape)
print(X_test.shape)
print(y_train.shape)
print(y_test.shape)

# 方法二：
# 将x长度这么多的数，返回一个新的打乱顺序的数组
# 注意，数组中的元素不是原来的数据，而是混乱的索引
shuffle_index = np.random.permutation(len(X))

# 指定测试数据的比例
test_ratio = 0.2
test_size = int(len(X) * test_ratio)
test_index = shuffle_index[:test_size]
train_index = shuffle_index[test_size:]
X_train = X[train_index]
X_test = X[test_index]
y_train = y[train_index]
y_test = y[test_index]

print(X_train.shape)
print(X_test.shape)
print(y_train.shape)
print(y_test.shape)

封装train_test_split（model_selection.py）:

import numpy as np
def train_test_split(X, y, test_ratio=0.2, seed=None):
    """将矩阵X和标签y按照test_ration分割成X_train, X_test, y_train, y_test"""
    assert X.shape[0] == y.shape[0], \
        "the size of X must be equal to the size of y"
    assert 0.0 <= test_ratio <= 1.0, \
        "test_train must be valid"

    if seed:
        # 是否使用随机种子，使随机结果相同，方便debug
        np.random.seed(seed)
        # permutation(n) 可直接生成一个随机排列的数组，含有n个元素
    shuffle_index = np.random.permutation(len(X))

    test_size = int(len(X) * test_ratio)
    test_index = shuffle_index[:test_size]
    train_index = shuffle_index[test_size:]
    X_train = X[train_index]
    X_test = X[test_index]
    y_train = y[train_index]
    y_test = y[test_index]
    return X_train, X_test, y_train, y_test

调用（test.py）

from kNN_test.model_selection import train_test_split
from sklearn import datasets

iris = datasets.load_iris()

X = iris.data
y = iris.target

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y)

print(X_train.shape)
print(X_test.shape)
print(y_train.shape)
print(y_test.shape)

sklearn中的train_test_split:

上面写的train_test_split也是在模仿sklearn的风格，我们可以直接在sklearn中调用：

from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn import datasets

iris = datasets.load_iris()

X = iris.data
y = iris.target

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, 0.2, 666)

print(X_train.shape)
print(X_test.shape)
print(y_train.shape)
print(y_test.shape)

【2】

[********测评手写数字识别*******]

精准度：

  在划分出测试数据集后，我们就可以验证其模型准确率了（accuracy）

  accuracy_score：函数计算分类准确率，返回被正确分类的样本比例（default）或者是数量（normalize=False）
  [在多标签分类问题中，该函数返回子集的准确率，对于一个给定的多标签样本，如果预测得到的标签集合与该样本真正的标签集合严格吻合，则subset accuracy =1.0否则是0.0]

from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y)
knn_clf = KNeighborsClassifier(n_neighbors=3)
knn_clf.fit(X_train, y_train)
y_predict = knn_clf.predict(X_test)

# 比对y_predict和y_test结果是否一致
print(sum(y_predict == y_test) / len(y_test))

  在我们自己的工程文件中添加一个metrics.py，用来度量性能的各种指标：

mport numpy as np
from math import sqrt

def accuracy_score(y_true, y_predict):
    """计算y_true和y_predict之间的准确率"""
    assert y_true.shape[0] != y_predict.shape[0], \
        "the size of y_true must be equal to the size of y_predict"
    return sum(y_true == y_predict) / len(y_true)

  调用：

from kNN_test.metrics import accuracy_score

accuracy_score(y_test, y_predict)

  更多的时候，我们还是使用sklearn中封装好的方法:

from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, 0.2,666)
knn_clf = KNeighborsClassifier(n_neighbors=3)
knn_clf.fit(X_train, y_train)
y_predict = knn_clf.predict(X_test)
print(accuracy_score(y_test, y_predict))

混淆矩阵：

  {对于一个癌症预测系统，输入检查指标，判断是否患有癌症，预测准确度99.9%。这个系统是好是坏呢？

  如果癌症产生的概率是0.1%，那其实根本不需要任何机器学习算法，只要系统预测所有人都是健康的，即可达到99.9%的准确率。也就是说对于极度偏斜(Skewed Data)的数据，只使用分类准确度是不能衡量。}

  在此引入混淆矩阵(Confusion Matrix)：

  对于二分类问题来说，所有的问题被分为0和1两类，混淆矩阵是2*2的矩阵：

	预测值0	预测值1
真实值0	TN	FP
真实值1	FN	TP

• TN：真实值是0，预测值也是0，即我们预测是negative，预测正确了。

• FP：真实值是0，预测值是1，即我们预测是positive，但是预测错误了。

• FN：真实值是1，预测值是0，即我们预测是negative，但预测错误了。

• TP：真实值是1，预测值是1，即我们预测是positive，预测正确了。

  现在假设有1万人进行预测，填入混淆矩阵如下：

	预测值0	预测值1
真实值0	9978	12
真实值1	2	8

  对于1万个人中，有9978个人本身并没有癌症，我们的算法也判断他没有癌症；有12个人本身没有癌症，但是我们的算法却错误地预测他有癌症；有2个人确实有癌症，但我们算法预测他没有癌症；有8个人确实有癌症，而且我们也预测对了。

  因为混淆矩阵表达的信息比简单的分类准确度更全面，因此可以通过混淆矩阵得到一些有效的指标。

  代码实现：

import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

digits = datasets.load_digits()
X = digits.data
y = digits.target.copy()

# 要构造偏斜数据，将数字9的对应索引的元素设置为1，0～8设置为0
y[digits.target==9]=1
y[digits.target!=9]=0

# 使用逻辑回归做一个分类
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=666)

log_reg = LogisticRegression()
log_reg.fit(X_train,y_train)
# 得到X_test所对应的预测值
y_log_predict = log_reg.predict(X_test)

# 分类准确度
print(log_reg.score(X_test, y_test))

# 定义混淆指标：TN
def TN(y_true, y_predict):
    assert len(y_true) == len(y_predict)
    # (y_true == 0)：向量与数值按位比较，得到的是一个布尔向量
    # 向量与向量按位与，结果还是布尔向量
    # np.sum 计算布尔向量中True的个数(True记为1，False记为0)
    return np.sum((y_true == 0) & (y_predict == 0))
    # 向量与向量按位与，结果还是向量

print(TN(y_test, y_log_predict))

# 定义混淆指标：FP
def FP(y_true, y_predict):
    assert len(y_true) == len(y_predict)
    # (y_true == 0)：向量与数值按位比较，得到的是一个布尔向量
    # 向量与向量按位与，结果还是布尔向量
    # np.sum 计算布尔向量中True的个数(True记为1，False记为0)
    return np.sum((y_true == 0) & (y_predict == 1))  # 向量与向量按位与，结果还是向量

print(FP(y_test, y_log_predict))

# 定义混淆指标：FN
def FN(y_true, y_predict):
    assert len(y_true) == len(y_predict)
    # (y_true == 0)：向量与数值按位比较，得到的是一个布尔向量
    # 向量与向量按位与，结果还是布尔向量
    # np.sum 计算布尔向量中True的个数(True记为1，False记为0)
    return np.sum((y_true == 1) & (y_predict == 0))  # 向量与向量按位与，结果还是向量

print(FN(y_test, y_log_predict))

# 定义混淆指标：TP
def TP(y_true, y_predict):
    assert len(y_true) == len(y_predict)
    # (y_true == 0)：向量与数值按位比较，得到的是一个布尔向量
    # 向量与向量按位与，结果还是布尔向量
    # np.sum 计算布尔向量中True的个数(True记为1，False记为0)
    return np.sum((y_true == 1) & (y_predict == 1))  # 向量与向量按位与，结果还是向量

print(TP(y_test, y_log_predict))

# 输出混淆矩阵
def confusion_matrix(y_true, y_predict):
    return np.array([
        [TN(y_true, y_predict), FP(y_true, y_predict)],
        [FN(y_true, y_predict), TP(y_true, y_predict)]
    ])

print(confusion_matrix(y_test, y_log_predict))

精准率（查准率）：

  因accuracy定义清洗、计算方法简单，因此经常被使用。但是它在某些情况下并不一定是评估模型的最佳工具。精度（查准率）和召回率（查全率）等指标对衡量机器学习的模型性能在某些场合下要比accuracy更好。

    根据混淆矩阵可以求得指标：

	预测值0	预测值1
真实值0	9978（TN）	12（FP）
真实值1	2（FN）	8（TP）

  精准率： ，即精准率为8/(8+12)=40%。所谓的精准率是：分母为所有预测为1的个数，分子是其中预测对了的个数，即预测值为1，且预测对了的比例。

  为什么管它叫精准率呢？在有偏的数据中，我们通常更关注值为1的特征，比如“患病”，比如“有风险”。在100次结果为患病的预测，平均有40次预测是对的。即：精准率为我们关注的那个事件，预测的有多准。

  代码实现：

def precision_score(y_true, y_predict):
    tp = TP(y_true, y_predict)
    fp = FP(y_true, y_predict)
    try:
        return tp / (tp + fp)
    except:
        return 0.0
print(precision_score(y_test, y_log_predict))

召回率（查全率）：

  召回率:  ，即精准率为8/(8+2)=80%。所谓召回率是：所有真实值为1的数据中，预测对了的个数。每当有100个癌症患者，算法可以成功的预测出8个 。也就是我们关注的那个事件真实的发生情况下，我们成功预测的比例是多少。

  那么为什么需要精准率和召回率呢？还是下面的这个例子，有10000个人，混淆矩阵如下：

	预测值0	预测值1
真实值0	9978	12
真实值1	2	8

  如果我们粗暴的认为所有人都是健康的，那算法的准确率是99.78%，但这是毫无意义的。如果算精准率则是40%，召回率是80%。

  有的时候，对于一个算法而言，精准率高一些，召回率低一些；或者召回率高一些，精准率低一些。该如何取舍呢？

    【答：视场景而定】

  比如我们做了一个股票预测系统，未来股票是还是这样一个二分类问题。很显然“涨”才是我们关注的焦点，那么我们肯定希望：系统预测上涨的股票中，真正上涨的比例越大越好，这就是希望查准率高。那么我们是否关注查全率呢？在大盘中有太多的真实上涨股票，虽然我们漏掉了一些上升周期，但是我们没有买进，也就没有损失。但是如果查准率不高，预测上涨的结果下跌了，那就是实实在在的亏钱了。所以在这个场景中，查准率更重要。

  当然也有追求召回率的场景，在医疗领域做疾病诊断，如果召回率低，意味着本来有一个病人得病了，但是没有正确预测出来，病情就恶化了。我们希望尽可能地将所有有病的患者都预测出来，而不是在看在预测有病的样例中有多准。

  代码实现：

def recall_score(y_true, y_predict):
    tp = TP(y_true, y_predict)
    fn = FN(y_true, y_predict)
    try:
        return tp / (tp + fn)
    except:
        return 0.0
print(recall_score(y_test, y_log_predict))

scikit-learn中的混淆矩阵，精准率和召回率:

from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

digits = datasets.load_digits()
X = digits.data
y = digits.target.copy()

# 要构造偏斜数据，将数字9的对应索引的元素设置为1，0～8设置为0
y[digits.target==9]=1
y[digits.target!=9]=0

# 使用逻辑回归做一个分类
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=666)

log_reg = LogisticRegression()
log_reg.fit(X_train,y_train)
# 得到X_test所对应的预测值
y_log_predict = log_reg.predict(X_test)

# 混淆矩阵
from sklearn.metrics import confusion_matrix

print(confusion_matrix(y_test, y_log_predict))
# 输出:
# array([[403,   2],
#       [  9,  36]])

# 精准率
from sklearn.metrics import precision_score

print(precision_score(y_test, y_log_predict))
# 输出:
# 0.947368421053

# 召回率
from sklearn.metrics import recall_score

print(recall_score(y_test, y_log_predict))
# 输出:
# 0.8

  但是，在实际业务场景中，也有很多没有这么明显的选择。那么在同时需要关注精准率和召回率，如何在两个指标中取得平衡呢？在这种情况下，我们使用一种新的指标：F1 Score。

F1 Score（二者兼顾）：

  如果要我们综合精准率和召回率这两个指标，我们可能会想到取平均值这样的方法。F1 Score的思想也差不多：

  F1 Score 是精准率和召回率的调和平均值：

  什么是调和平均值？为什么要取调和平均值？调和平均值的特点是如果二者极度不平衡，如某一个值特别高、另一个值特别低时，得到的F1 Score值也特别低；只有二者都非常高，F1才会高。这样才符合我们对精准率和召回率的衡量标准。

                                                             

  代码实现：

def f1_score(precision, recall):
    try:
        return 2 * precision * recall / (precision + recall)
    except:
        return 0.0

print(f1_score(precision_score(y_test, y_log_predict),recall_score(y_test, y_log_predict)))

ROC曲线：

  基础概念：

  1、分类阈值，即设置判断样本为正例的阈值thr，

  如果某个逻辑回归模型对某封电子邮件进行预测时返回的概率为 0.9995，则表示该模型预测这封邮件非常可能是垃圾邮件。相反，在同一个逻辑回归模型中预测分数为 0.0003 的另一封电子邮件很可能不是垃圾邮件。可如果某封电子邮件的预测分数为 0.6 呢？为了将逻辑回归值映射到二元类别，您必须指定分类阈值（也称为判定阈值）。如果值高于该阈值，则表示“垃圾邮件”；如果值低于该阈值，则表示“非垃圾邮件”。人们往往会认为分类阈值应始终为 0.5，但阈值取决于具体问题，因此您必须对其进行调整。

  2、TPR：预测为1，且预测对了的数量，占真实值为1的数据百分比。很好理解，就是召回率。 

                                                             

  3、FPR:预测为1，但预测错了的数量，占真实值不为1的数据百分比。与TPR相对应，FPR除以真实值为0的这一行所有的数字和 

TPR和FPR之间是成正比的，TPR高，FPR也高。ROC曲线就是刻画这两个指标之间的关系。

[ROC曲线]：

ROC曲线（Receiver Operation Characteristic Cureve），描述TPR和FPR之间的关系。x轴是FPR，y轴是TPR。

我们已经知道，TPR就是所有正例中，有多少被正确地判定为正；FPR是所有负例中，有多少被错误地判定为正。 分类阈值取不同值，TPR和FPR的计算结果也不同，最理想情况下，我们希望所有正例 & 负例 都被成功预测  TPR=1，FPR=0，即 所有的正例预测值 > 所有的负例预测值，此时阈值取最小正例预测值与最大负例预测值之间的值即可。

TPR越大越好，FPR越小越好，但这两个指标通常是矛盾的。为了增大TPR，可以预测更多的样本为正例，与此同时也增加了更多负例被误判为正例的情况。

代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

digits = datasets.load_digits()
X = digits.data
y = digits.target.copy()

# 要构造偏斜数据，将数字9的对应索引的元素设置为1，0～8设置为0
y[digits.target == 9] = 1
y[digits.target != 9] = 0

# 使用逻辑回归做一个分类
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=666)

log_reg = LogisticRegression()
log_reg.fit(X_train, y_train)
# 计算逻辑回归给予X_test样本的决策数据值
# 通过decision_function可以调整精准率和召回率
decision_scores = log_reg.decision_function(X_test)

def TN(y_true, y_predict):
    assert len(y_true) == len(y_predict)
    # (y_true == 0)：向量与数值按位比较，得到的是一个布尔向量
    # 向量与向量按位与，结果还是布尔向量
    # np.sum 计算布尔向量中True的个数(True记为1，False记为0)
    return np.sum((y_true == 0) & (y_predict == 0))
    # 向量与向量按位与，结果还是向量


# 定义混淆指标：FP
def FP(y_true, y_predict):
    assert len(y_true) == len(y_predict)
    # (y_true == 0)：向量与数值按位比较，得到的是一个布尔向量
    # 向量与向量按位与，结果还是布尔向量
    # np.sum 计算布尔向量中True的个数(True记为1，False记为0)
    return np.sum((y_true == 0) & (y_predict == 1))  # 向量与向量按位与，结果还是向量

# 定义混淆指标：FN
def FN(y_true, y_predict):
    assert len(y_true) == len(y_predict)
    # (y_true == 0)：向量与数值按位比较，得到的是一个布尔向量
    # 向量与向量按位与，结果还是布尔向量
    # np.sum 计算布尔向量中True的个数(True记为1，False记为0)
    return np.sum((y_true == 1) & (y_predict == 0))  # 向量与向量按位与，结果还是向量

# 定义混淆指标：TP
def TP(y_true, y_predict):
    assert len(y_true) == len(y_predict)
    # (y_true == 0)：向量与数值按位比较，得到的是一个布尔向量
    # 向量与向量按位与，结果还是布尔向量
    # np.sum 计算布尔向量中True的个数(True记为1，False记为0)
    return np.sum((y_true == 1) & (y_predict == 1))  # 向量与向量按位与，结果还是向量


# TPR
def TPR(y_true, y_predict):
    tp = TP(y_true, y_predict)
    fn = FN(y_true, y_predict)
    try:
        return tp / (tp + fn)
    except:
        return 0.0


# FPR
def FPR(y_true, y_predict):
    fp = FP(y_true, y_predict)
    tn = TN(y_true, y_predict)
    try:
        return fp / (fp + tn)
    except:
        return 0.0


fprs = []
tprs = []

# 以0.1为步长，遍历decision_scores中的最小值到最大值的所有数据点，将其作为阈值集合
thresholds = np.arange(np.min(decision_scores), np.max(decision_scores), 0.1)
for threshold in thresholds:
    # decision_scores >= threshold 是布尔型向量，用dtype设置为int
    # 大于等于阈值threshold分类为1，小于为0，用这种方法得到预测值
    y_predict = np.array(decision_scores >= threshold, dtype=int)
    # print(y_predict)
    # print(y_test)
    # print(FPR(y_test, y_predict))
    # 对于每个阈值，所得到的FPR和TPR都添加到相应的队列中
    fprs.append(FPR(y_test, y_predict))
    tprs.append(TPR(y_test, y_predict))

# 绘制ROC曲线，x轴是fpr的值，y轴是tpr的值
plt.plot(fprs, tprs)
plt.show()

    

sklearn中的ROC曲线：

from sklearn.metrics import roc_curve
import matplotlib.pyplot as plt


# 计算逻辑回归给予X_test样本的决策数据值
# 通过decision_function可以调整精准率和召回率
decision_scores = log_reg.decision_function(X_test)

fprs, tprs, thresholds = roc_curve(y_test, decision_scores)
plt.plot(fprs, tprs)
plt.show()

  ROC曲线距离左上角越近，证明分类器效果越好。如果一条算法1的ROC曲线完全包含算法2，则可以断定性能算法1>算法2。这很好理解，此时任做一条 横线（纵线），任意相同TPR（FPR） 时，算法1的FPR更低（TPR更高），故显然更优。

  很多时候两个分类器的ROC曲线交叉，无法判断哪个分类器性能更好，这时可以计算曲线下的面积AUC，作为性能度量。

AUC（曲线下面积）：

  一般在ROC曲线中，我们关注是曲线下面的面积， 称为AUC（Area Under Curve）。这个AUC是横轴范围（0,1 ），纵轴是（0,1）所以总面积是小于1的。

ROC和AUC的主要应用：比较两个模型哪个好？主要通过AUC能够直观看出来。

ROC曲线下方由梯形组成，矩形可以看成特征的梯形。因此，AUC的面积可以这样算：（上底+下底）* 高 / 2，曲线下面的面积可以由多个梯形面积叠加得到。AUC越大，分类器分类效果越好。

• AUC = 1，是完美分类器，采用这个预测模型时，不管设定什么阈值都能得出完美预测。绝大多数预测的场合，不存在完美分类器。

• 0.5 < AUC < 1，优于随机猜测。这个分类器（模型）妥善设定阈值的话，能有预测价值。

• AUC = 0.5，跟随机猜测一样，模型没有预测价值。

• AUC < 0.5，比随机猜测还差；但只要总是反预测而行，就优于随机猜测。

可以在sklearn中求出AUC值：

from sklearn.metrics import roc_auc_score
print(roc_auc_score(y_test, decision_scores))

  【3】

[******代码基于波士顿房产预测的实际例子******]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets

# 查看数据集描述
boston = datasets.load_boston()
print(boston.DESCR)

# 查看数据集的特征列表
print(boston.feature_names)


# 取出数据中的第六例的所有行（房间数量）
x = boston.data[:, 5]
print(x.shape)


# 取出样本标签
y = boston.target
print(y.shape)


plt.scatter(x, y)
plt.show()

  

# 在图中我们可以看到 50W 美元的档分布着一些点
# 这些点可能是超出了限定范围
# 比如在问卷调查中，价格的最高档位是“50万及以上”，那么就全都划到50W上了，因此在本例中，可以将这部分数据去除
np.max(y)

x = x[y < 50.0]
y = y[y < 50.0]
plt.scatter(x,y)
plt.show()

  简单线性回归：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets

# 查看数据集描述
boston = datasets.load_boston()


# 取出数据中的第六例的所有行（房间数量）
x = boston.data[:, 5]


# 取出样本标签
y = boston.target

# 在本例中，去除“50万及以上”的数据
np.max(y)

x = x[y < 50.0]
y = y[y < 50.0]

from kNN_test.model_selection import train_test_split

x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, seed=666)
print(x_train.shape)    # (392,)
print(y_train.shape)    #(392,)
print(x_test.shape)     #(98,)
print(y_test.shape)     #(98,)

from kNN_test.SimpleLinearRegression import SimpleLinearRegression

reg = SimpleLinearRegression()
reg.fit(x_train,y_train)
print(reg.a_)   # 7.8608543562689555
print(reg.b_)   # -27.459342806705543

plt.scatter(x_train,y_train)
plt.plot(x_train, reg.predict(x_train),color='r')
plt.show()

y_predict = reg.predict(x_test)
print(y_predict)

  SimpleLinearRegression.py:

import numpy as np
from .metrics import r2_score

class SimpleLinearRegression:
    def __init__(self):
        """模型初始化函数"""
        self.a_ = None
        self.b_ = None

    def fit(self, x_train, y_train):
        """根据训练数据集x_train,y_train训练模型"""
        assert x_train.ndim ==1, \
            "简单线性回归模型仅能够处理一维特征向量"
        assert len(x_train) == len(y_train), \
            "特征向量的长度和标签的长度相同"
        x_mean = np.mean(x_train)
        y_mean = np.mean(y_train)
        num = (x_train - x_mean).dot(y_train - y_mean)  # 分子
        d = (x_train - x_mean).dot(x_train - x_mean)    # 分母
        self.a_ = num / d
        self.b_ = y_mean - self.a_ * x_mean

        return self

    def predict(self, x_predict):
        """给定待预测数据集x_predict，返回表示x_predict的结果向量"""
        assert x_predict.ndim == 1, \
            "简单线性回归模型仅能够处理一维特征向量"
        assert self.a_ is not None and self.b_ is not None, \
            "先训练之后才能预测"
        return np.array([self._predict(x) for x in x_predict])

    def _predict(self, x_single):
        """给定单个待预测数据x_single，返回x_single的预测结果值"""
        return self.a_ * x_single + self.b_

    def score(self, x_test, y_test):
        """根据测试数据x_test、y_test计算简单线性回归准确度（R方）"""
        y_predict = self.predict(x_test)
        return r2_score(y_test, y_predict)

    def __repr__(self):
        """返回一个可以用来表示对象的可打印字符串"""
        return "SimpleLinearRegression()"

    

 简单线性回归的目标是：已知训练数据样本x、y，找到a和b的值，使尽可能小

实际上是找到训练数据集中最小。

衡量标准是看在测试数据集中y的真实值与预测值之间的差距。

因此我们可以使用下面公式作为衡量标准：

但是这里有一个问题，这个衡量标准是和m相关的。在具体衡量时，测试数据集不同将会导致误差的累积量不同。

首先我们从“使损失函数尽量小”这个思路出发：

对于训练数据集合来说，使尽可能小

在得到a和b之后将代入a、b中。可以使用来作为衡量回归算法好坏的标准。

MSE（均方误差）：

  测试集中的数据量m不同，因为有累加操作，所以随着数据的增加 ，误差会逐渐积累；因此衡量标准和 m 相关。为了抵消掉数据量的形象，可以除去数据量，抵消误差。通过这种处理方式得到的结果叫做 均方误差MSE（Mean Squared Error）：

                                                                         

  代码实现：

# MSE
mse_test = np.sum((y_predict - y_test) ** 2) / len(y_test)
print(mse_test)

RMSE（均方根误差）：

  但是使用均方误差MSE收到量纲的影响。例如在衡量房产时，y的单位是（万元），那么衡量标准得到的结果是（万元平方）。为了解决量纲的问题，可以将其开方（为了解决方差的量纲问题，将其开方得到平方差）得到均方根误差RMSE（Root Mean Squarde Error）：

                                                          

  代码实现：

# RMSE
from math import sqrt

rmse_test = sqrt(mse_test)
print（rmse_test）

MAE（平均绝对误差）：

  对于线性回归算法还有另外一种非常朴素评测标准。要求真实值与 预测结果之间的距离最小，可以直接相减做绝对值，加m次再除以m，即可求出平均距离，被称作平均绝对误差MAE（Mean Absolute Error）：

            

  在之前确定损失函数时，我们提过，绝对值函数不是处处可导的，因此没有使用绝对值。但是在评价模型时不影响。因此模型的评价方法可以和损失函数不同。

# MAE
mae_test = np.sum(np.absolute(y_predict - y_test)) / len(y_test)
print(mae_test)

R Squared：

  分类准确率，就是在01之间取值。但RMSE和MAE没有这样的性质，得到的误差。因此RMSE和MAE就有这样的局限性，比如我们在预测波士顿方差，RMSE值是4.9（万美元） 我们再去预测身高，可能得到的误差是10（厘米），我们不能说后者比前者更准确，因为二者的量纲根本就不是一类东西。

其实这种局限性，可以被解决。用一个新的指标R Squared：

  

  

R方这个指标为什么好呢？

• 对于分子来说，预测值和真实值之差的平方和，即使用我们的模型预测产生的错误。

• 对于分母来说，是均值和真实值之差的平方和，即认为“预测值=样本均值”这个模型（Baseline Model）所产生的错误。

• 我们使用Baseline模型产生的错误较多，我们使用自己的模型错误较少。因此用1减去较少的错误除以较多的错误，实际上是衡量了我们的模型拟合住数据的地方，即没有产生错误的相应指标。

我们根据上述分析，可以得到如下结论：

• R^2 <= 1

• R2越大也好，越大说明减数的分子小，错误率低；当我们预测模型不犯任何错误时，R2最大值1

• 当我们的模型等于基准模型时，R^2 = 0

• 如果R^2 < 0，说明我们学习到的模型还不如基准模型。此时，很有可能我们的数据不存在任何线性关系。