模运算与同余关系

---

一、模运算

1.通用定义

如果a 与d 是整数，d 非零，那么r 满足这样的关系：
a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。
其中，q 被称为商，r 被称为余数。

2.关于包含负数的模运算

从定义的角度来看，我们此时需要解决3种情况：
1.a、d均为负数
2.仅a为负数
3.仅b为负数

我们先引入结论：
1.对于任何同号的两个整数，其取余结果没有争议，所有语言的运算原则都是使商尽可能小。
2.对于异号的两个整数，C++/Java语言的原则是使商尽可能大，很多新型语言和网页计算器的原则是使商尽可能小。

对于C++/Java语言，我们可以更加简便的记忆为：

a = q*d + r ，余数 r 的符号与 a 的符号相同

例子：
以C++/Java语言为背景
（-7）%（-3）=-1
（-7）%（3）=-1
（7）%（-3）=1

---

二、同余关系

1.定义

给定一个正整数m和两个整数a和b，如果((a-b) mod m)=0，
则称a和b模m同余，记为 a≡b(mod m)。

存在关系：a=b+k*m

2.同余类（剩余类）

给定一个正整数m作为模，整数对其取模的结果有m种情况：0到m-1

此时余数不考虑负数，从数学角度来理解

我们把对m取模结果相同的整数构成的集合称为模m的一个同余类（剩余类）

同余关系是一种等价关系。

1.自反性：一个数永远和自己本身同余

2.对称性：a和b同余，b和a也就同余

3.传递性：a和b同余，b和c也同余，可以推出a和c也是同余的

3.完全剩余系 、简化剩余系（既约剩余系/缩系）

完全剩余系：
从模m的每个剩余系中各取一个数得到m的数，叫做模m的一个完全剩余系
比如模5的完全剩余系：
0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4
0 ， 6 ， 2 ， 8 ， 19
… …

简化剩余系：
简化剩余系也称既约剩余系或缩系，是m的完全剩余系中与m互素的数构成的子集，如果模m的一个剩余类里所有数都与m互素，就把它叫做与模m互素的剩余类。

互素：两个数仅有1作为公共的因子
比如
模5的一个简化剩余系是1，2，3，4
模10的一个简化剩余系是1，3，7，9
模18的一个简化剩余系是1，5，7，11，13，17

若a、b属于模m的简化剩余系，那么a*b同样属于模m的简化剩余系。
证明：根据之前的唯一分解定理，可以得知a与m不存在相同的质因子，同样b与m也不存在，
那么ab的结果与m仍然不会存在相同的质因子，也就是与m互素，那么ab也就属于m的一个简化剩余系。

4.带模运算性质

对于除法，我们后面会引入逆元来计算。

总而言之，大部分情况下，我们整体取模和分布取模的结果是一致的。

5.同余式性质

公式证明

---

1.消去律简单证明
ac≡bc (mod p) → a≡b (mod $\frac{p}{gcd(c,p)}$ )

ac≡bc (mod p) 可以得到c(a-b)=kp;
此时令gcd(c,p)=d;
将两边同时除以d，可得：
$\frac{c}{d}$(a-b)=k$\frac{p}{d}$，其中$\frac{c}{d}$与$\frac{p}{d}$为互质关系，不存在相同因子，那么要满足等式的成立，要么k为0，存在a=b，要么是由k提供了$\frac{c}{d}$，也就意味着$\frac{c}{d}$是k的因子。

那么式子就可以继续改写为$\frac{c}{d}$(a-b) =（$\frac{c}{d}$k‘ ）$\frac{p}{d}$ = $\frac{c}{d}$（k‘ $\frac{p}{d}$）
两边约去$\frac{c}{d}$可得：a - b = k’$\frac{p}{d}$;
也就是 a≡b (mod $\frac{p}{gcd(c,p)}$ )
证毕。

---

2.a≡b(% cd) → a≡b(% d)
证明：
a= m * cd+r等于（mc）* d+r
b= n * cd+r等于（nc）* d+r

---

3.(a≡b(% d), a≡b(% c)) → a≡b(% LCM(c,d))
证明：
由上式，可得关系：（a - b）既可以被d 所整除，又可以被c整除。
对（a -b）、c、d进行唯一分解，以其中的某一项质因数p为例，
（a - b）于该项的指数一定大于等于c 于该项的指数，否则无法满足整除条件。
同理适用于（a - b）跟 d 的讨论；
而且这一规律适用于每个质因数。

在GCD与LCM我们知道了LCM（c，d）中，每一位质因数的指数其实是c、d在这一指数上取的最大值。
若c = 12 = （2 ^ 2）* (3 ^ 1) * (5 ^ 0)
d = 15 = (2 ^ 0) * (3 ^ 1) * ( 5 ^ 1)
那么LCM（c，d）= （2 ^ 2）* (3 ^ 1) * (5 ^ 1) = 60

而（a -b）每一项质因数的指数都大于等于c，跟d，也就大于等于其中的最大值，即LCM（c，d）在该处的指数，所以 （a - b）可以被LCM（c，d）整除，a≡b(% LCM(c,d))也就成立了。

---

4.若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有
(a + c) ≡ (b + c) (%p)
证明：
c= k * p+R
a= m * p+r
b= n * p+r
a+c=（k+m）* p+R+r
b+c=（k+n）* p+R+r
可知其相等

---

5.若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有
(a * c) ≡ (b * c) (%p)
证明：
c= k * p+R
a= m * p+r
b= n * p+r
ac=（kmd+kr+mR） * p + Rr
bc=（knd+kr+nR） * p+ Rr*

---

6.若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有 ($a^c$) ≡ ( $b^c$) (%p)
证明：参考上方带模运算，进行分部取模，可以发现最后殊途同归，都是对r的c次方取模

---

7.若a≡b (% p)，c≡d (% p)，
则(a +c) ≡ (b +d) (%p)
(a - c) ≡ (b - d) (%p)
(a * c) ≡ (b * d) (%p)
证明：类似上方，进行展开。

---

6.余数之和

例题：余数之和

我们的思路是进行分段计算，每次求出一段的和，从而加快计算效率。
在这一段中，对k取模所得的商是相同的，我们就可以把这个商给提出来，再进行等差数列求和，最后减去商与数列和之积。

重点在于确定每一段的末端，需要进行判断

a-=(k/i)*(i+g(i))*(g(i)-i+1)/2;

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
//-----pre_def----
const double PI = acos(-1.0);
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<double, double> pdd;
#define fir(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
#define rif(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); i--)
#define init_h memset(h, -1, sizeof h), idx = 0;
#define lowbit(x) x &(-x)
//---------------
ull a,n,k;
ull g(ull i){
	ull tmp=k/i;
	if(tmp==0)return n;//商为0 
	return min(n,k/tmp);//如过该值都大于n了，要进行减枝，避免计算超出范围的数据 
}
int main(){
	cin>>n>>k;
	a+=n*k;
	for(ull i=1;i<=n;i=g(i)+1){
		a-=(k/i)*(i+g(i))*(g(i)-i+1)/2;
	}
	cout<<a;
} 

---