逆元的定义，性质，求解方法与例题

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一、定义

若整数a、b满足同余方程a∗b≡1(mod n) ，那么a，b互为模n意义下的逆元

逆元存在的充要条件为gcd（a，b）为1.

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二、作用及证明

作用.计算除法的模 (a/b) mod n

除法不可以使用之前分部的策略，否则结果将会产生问题。

证明：

1.若 ( a / b ) mod n = m，左右同时乘以 b
由于m 与（a/b）是关于模n同余的，
根据同余式的性质：
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有
(a * c) ≡ (b * c) (%p)

所以此时有：
a % n = （m * b）% n
2.若存在x，可使得 a * x = m%n，将x与上式的左右相乘
根据相同的性质，得：
（a * x）% n = （m * x * b）% n = m % n
也就意味着 （b * x）%n = 1;
即 x，b互为模n意义下的逆元

那么证得通过a 乘上 b 对模n的逆元可以求出(a/b) mod n

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三、求解方法

1.扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法
a ∗ x ≡ 1 ( mod n)
可以化为：a* x = k * n + 1
a * x + （-k ）* n = 1
即 a * x + n * k = 1
满足扩展欧几里得的格式，若此时gcd （a，n）！=1，那么此时方程无解，即不存在逆元

若满足gcd （a，n）的条件，根据扩展欧几里得算法就可以直接求出一个x，当然此时的解也不唯一，不过我们一般都是使用exgcd所得的那个特解。
对exgcd所得的那个解进行处理，保证其为一个正整数。
x%mod+mod)%mod

typedef long long LL;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)//扩展欧几里得算法 
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}
LL getInv(int a,int mod)//求a在mod下的逆元，不存在逆元返回-1 
{
    LL x,y;
    LL d=exgcd(a,mod,x,y);
    return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}

2.欧拉定理与费马小定理（快速幂求法）

费马小定理：
若p为素数，则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)

欧拉定理（费马小定理的推广）：
若a、p互素，则有a^φ( p) ≡ 1(mod p)

两个定理的证明

在费马小定理中，a ^ (p-2)∗a ≡ 1(mod p)
a ^ (p-2）就是a在mod p意义下的逆元;

在欧拉定理中，a^（φ( p)-1）* a ≡ 1(mod p)
a^（φ( p)-1）就是a在mod p意义下的逆元

那么我们就转化为了求快速幂的问题。至于求欧拉函数的方法会在后面讲。

总之只要p为素数，就可以使用费马小定理直接快速幂求解；
若不为素数，就需要先求出p的欧拉函数再进行快速幂求解。

3.线性递推（逆元打表）

给定模 p 和 n，可以在线性时间内求出1 到 n 对 p 取模的逆元。

p为一个不算太大的质数

已知边界条件为 inv[ 1 ] = 1;
目标是求 i 模 p 的逆元
p 可以表示为 k * i + r；
其中存在关系：
k = p / i；
r = p % i；

根据 p = k * i + r
可以得到：（ k * i + r） ≡ 0 （mod p）
对左右同时乘以（r ^ -1）*(i ^ -1)，
可以得到：k∗（r ^ -1）+(i ^ -1)≡0 (mod p)
可以转化为：(i ^ -1)≡（−k∗（r ^ -1））(mod p)
即inv[ i ] = （-k * inv[ r ] ）（mod p）=（−p/i ∗ inv[p%i]）(mod p)

此时我们就可以用inv[p%i] 的结果来计算inv[ i ]的结果。

void getInv(int mod)//线性递推求逆元 
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<mod;i++)
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}

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四、性质（映射关系）

1.性质

当p为素数，则 1~p-1 的所有整数的 模p逆元 对应1~p-1的所有整数，既是单射也是满射。

例如，当p=7时，1~6 对应的 模7逆元 分别是 1,4,5,2,3,6

2.证明

至于a= 1 时，其逆元就是 1；
a = p-1 时，其逆元也为为p -1。

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五、例题·瞬间移动

瞬间移动

1.分析

2.代码

#include
using namespace std; 
typedef long long ll;
const int mod = 1000000007;
ll inv(long long a,long long m){//用递推直接求，不进行储存 
    if(a == 1)return 1;
    return inv(m%a,m)*(m-m/a)%m;
}
ll C(int a,int b){ //组合计算的快速方法
    ll t1=1,t2=1;
    for(int i = b ; i>=(b-a+1) ;i--)t1 = t1*i%mod;
    for(int i = a ; i>=1       ;i--)t2 = t2*i%mod;
    return t1*inv(t2,mod)%mod;
}
int main(){
   int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        if(n>m)swap(n,m);
        printf("%d\n", C(m-2,n+m-4) );
    }
    return 0;
}

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