透视变换原理、相机成像、灭点

相机成像

设世界坐标为$(X_w,Y_w,Z_w)$,相机坐标为$(X_c,Y_c,Z_c)$,则世界坐标系和相机坐标系需要一个矩阵变换R以及一个位移矩阵T,公式如下：
$$\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& T\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1\end{array}\right]$$

相机坐标和平面坐标系根据三角形相似原理：

$$Z_c\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}f& 0& 0\\ 0& f& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\end{array}\right]$$
、

从平面坐标系到图像坐标系：

设(u,v)代表图像坐标系坐标，设每一个像素的物理尺寸为dx、dy，则有：
$$\begin{gathered} u=x/dx+u_0 \\ v=y/dy+v_0 \\ {u}_0和v_0图像长宽的一半 \end{gathered}$$
所有等式综合起来得到图像上点坐标（u，v）与世界坐标系的关系
$$\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{Z_c}AR\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\end{array}\right]$$
将前面三个数表示为一个9x9矩阵，然后化简：
$$\begin{gathered} u=\frac{m_{0,0}{X}_w+m_{0,1}{Y}_w+m_{0,2}{Z}_w}{m_{2,0}{X}_w+m_{2,1}{Y}_w+m_{2,2}{Z}_w} \\ v=\frac{m_{1,0}{X}_w+m_{1,1}{Y}_w+m_{1,2}{Z}_w}{m_{2,0}{X}_w+m_{2,1}{Y}_w+m_{2,2}{Z}_w} \end{gathered}$$

对于世界坐标系下平行的两条直线，设方向为$D\{d_x,d_y,d_y\}$则给定直线上一点$A(a_x,a_y,a_z)$，该直线上任意一点表示为$X(\lambda )=A+\lambda D$,带入上式得：
$$\begin{gathered} u=\frac{m_{0,0}(a_x+\lambda d_x)+m_{0,1}(a_y+\lambda d_y)+m_{0,2}(a_z+\lambda d_z)}{m_{2,0}(a_x+\lambda d_x)+m_{2,1}(a_y+\lambda d_y)+m_{2,2}(a_z+\lambda d_z)} \\ v=\frac{m_{1,0}(a_x+\lambda d_x)+m_{1,1}(a_y+\lambda d_y)+m_{1,2}(a_z+\lambda d_z)}{m_{2,0}(a_x+\lambda d_x)+m_{2,1}(a_y+\lambda d_y)+m_{2,2}(a_z+\lambda d_z)} \end{gathered}$$
当世界坐标系下$X(\lambda )中\lambda$趋于无穷大时，可以得到极限：
$$\begin{gathered} u=\frac{m_{0,0}{d}_x+m_{0,1}{d}_y+m_{0,2}{d}_z}{m_{2,0}{d}_x+m_{2,1}{d}_y+m_{2,2}{d}_z} \\ v=\frac{m_{1,0}{d}_x+m_{1,1}{d}_y+m_{1,2}{d}_z}{m_{2,0}{d}_x+m_{2,1}{d}_y+m_{2,2}{d}_z} \end{gathered}$$
所以对于三维世界平行线上无穷远的点来说，通过相机映射后，两条平行线最终会相交于一点，该点为图像的灭点。

参考博客