动态规划之背包问题

动态规划问题：为了求解全局最优的解，将一个问题可以分解为多个子问题，且子问题间相关关联和递归，通过求解子问题的最优解，可以递归求得全局最优解。

01背包问题：

核心思想：

1. 比如总重量为10,物品的重量都是整数。可以分解为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。
   f(i,j)代表在考虑前i项物品下，在重量j（0-10）下的最优解。
   然后考虑i+1项物品，即下面的（i+1）物品。通过递归，最后即可得到考虑所有物品的全局最优解。
2. i+1物品是否可以加入:w（i+1）？w总
3. 可以加入，比较加入和不加入收益（f）,选取最大，更新f（i+1，j）
   加入(i+1)物品： v(i+1)+f（i，j-w[i+1]）
   不加入(i+1)物品：f(i,j)

画图过程：

算法的过程可以直观参考下面的表格更新的过程
http://c.biancheng.net/algorithm/01-knapsack.html

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02分组背包问题：

每组物品中只能选择一样

核心思想

1. 组间的问题还是跟01背包一致。
2. 组内问题，彼此间是互斥的。更新得到考虑前i组的最优解。（比如前i组有j项物品）
3. f（i，j，h）表示为第i组，考虑前j个物品，在h的重量下的最优解。
   不同的地方如下，在更新时收益的计算（因为物品间是互斥的）
4. 考虑i组j+1项:

• 重量是否允许加入w(i，j+1)？w总
• 可以加入，比较加入和不加入的收益
  加入：v（i，j+1）+f{i-1，jmax, h-(v(i，j+1)) }
  不加入：f{i-1，jmax，h}

eg：

A组：（1，2） （2，3）
B组：（1，3） （3，4）
C组：（5，10）（6，11）
。。。
（1，2） 1表示重量，2表示收益

组	物品	0	1	2	3	4	5	。。。	10
无		0	0	0	0	0	0	0	0
A	(1,2)	0	2	2	2	2	2	2	2
A	(2,3)	0	2	3	3	3	3	3	3
B	(1,3)	0	3	5	6	6	6	6	6
B	(3,4)	0	3	5	6	6	7	7	7
C	(5,10)
C	(6,11)

标黄即为组最优解。

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03有依赖的背包问题

主件和附件，选择附件必须先选主件。附件的个数不超过2个。

核心思想

附件的个数比较少，然后可以分解为互斥事件：

• 主件
• 主件+附件1
• 主件+附件2
• 主件+附件1+附件2

相当于02问题的一个组，每个时间就相当于一个物品，转化为02问题。