实对称矩阵的特征值一定为实数证明

　　虽然不是什么有应用价值的定理，但是每次看到实对称矩阵时总会有疑惑，现在记录下来。

证明

　　设有实对称矩阵$A$，它的特征值与对应的特征向量分别为$\lambda,x$，另外记$\overline{A},\overline{\lambda},\overline{x}$分别为它们对应的共轭复数(矩阵和向量是对每个元素共轭)。

　　首先有：

\begin{equation}\overline{x}^TAx = \overline{x}^T\overline{A}x = (\overline{A}^T\overline{x})^Tx = (\overline{A}\overline{x})^Tx = \overline{Ax}^Tx=\overline{\lambda x}^Tx=\overline{\lambda}\overline{x}^Tx\end{equation}

　　又有：

\begin{equation}\overline{x}^TAx = \overline{x}^T\lambda x = \lambda \overline{x}^T x\end{equation}

　　因为$(1),(2)$式相等，所以有：

$ (\overline{\lambda} -  \lambda) \overline{x}^Tx = 0$

　　因为特征向量$x\ne 0$，所以$ \overline{x}^Tx>0$，因此有$ \overline{\lambda} = \lambda$。特征值为实数得证。