序列模型（自回归模型，马尔可夫模型，因果关系）

李沐老师《动手学深度学习 PyTorch版》课程，小破站也有视频51 序列模型【动手学深度学习v2】_哔哩哔哩_bilibili

主要参考8.1. 序列模型 — 动手学深度学习 2.0.0 documentation

目录

1.基本原理

1.1自回归模型 

 1.2马尔可夫模型

1.3因果关系

2.训练

3.预测 

4.总结

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1.基本原理

自然语言处理的输入输出基本上都是序列，序列问题是自然语言处理最本质的问题。

序列模型：就是输入输出均为序列数据的模型，序列模型将输入序列数据转换为目标序列数据。

我们需要统计工具和新的深层神经网络结构来处理序列数据。为了简单起见，我们以下图所示的股票价格（富时100指数）为例。

李沐老师总结：

1. 时序模型中，当前数据与之前的观察数据是相关的
2. 自回归模型使用自身过去数据来预测未来
3. 马尔科夫模型假设当前数据只根最近少数数据相关
4. 潜变量模型（RNN等）使用潜变量来概括历史信息

1.1自回归模型 

为了实现这个预测，交易员可以使用回归模型， 例如在 3.3节中训练的模型。 仅有一个主要问题：输入数据的数量， 输入xt−1,…,x1本身因t而异。 也就是说，输入数据的数量这个数字将会随着我们遇到的数据量的增加而增加， 因此需要一个近似方法来使这个计算变得容易处理。 本章后面的大部分内容将围绕着如何有效估计 P(xt∣xt−1,…,x1)展开。 简单地说，它归结为以下两种策略。

第一种策略，假设在现实情况下相当长的序列 xt−1,…,x1可能是不必要的， 因此我们只需要满足某个长度为τ的时间跨度， 即使用观测序列xt−1,…,xt−τ。 当下获得的最直接的好处就是参数的数量总是不变的， 至少在t>τ时如此，这就使我们能够训练一个上面提及的深度网络。 这种模型被称为自回归模型（autoregressive models）， 因为它们是对自己执行回归。

第二种策略，如 图8.1.2所示， 是保留一些对过去观测的总结ht， 并且同时更新预测x^t和总结ht。 这就产生了基于x^t=P(xt∣ht)估计xt， 以及公式ht=g(ht−1,xt−1)更新的模型。 由于ht从未被观测到，这类模型也被称为 隐变量自回归模型（latent autoregressive models）。

这两种情况都有一个显而易见的问题：如何生成训练数据？ 一个经典方法是使用历史观测来预测下一个未来观测。 显然，我们并不指望时间会停滞不前。 然而，一个常见的假设是虽然特定值xt可能会改变， 但是序列本身的动力学不会改变。 这样的假设是合理的，因为新的动力学一定受新的数据影响， 而我们不可能用目前所掌握的数据来预测新的动力学。 统计学家称不变的动力学为静止的（stationary）。 因此，整个序列的估计值都将通过以下的方式获得：

 注意，如果我们处理的是离散的对象（如单词）， 而不是连续的数字，则上述的考虑仍然有效。 唯一的差别是，对于离散的对象， 我们需要使用分类器而不是回归模型来估计P(xt∣xt−1,…,x1)。

 1.2马尔可夫模型

回想一下，在自回归模型的近似法中， 我们使用xt−1,…,xt−τ 而不是xt−1,…,x1来估计xt。 只要这种是近似精确的，我们就说序列满足马尔可夫条件（Markov condition）。 特别是，如果τ=1，得到一个 一阶马尔可夫模型（first-order Markov model）， P(x)由下式给出：

 当假设xt仅是离散值时，这样的模型特别棒， 因为在这种情况下，使用动态规划可以沿着马尔可夫链精确地计算结果。 例如，我们可以高效地计算P(xt+1∣xt−1)：

利用这一事实，我们只需要考虑过去观察中的一个非常短的历史： P(xt+1∣xt,xt−1)=P(xt+1∣xt)。  

1.3因果关系

原则上，将P(x1,…,xT)倒序展开也没什么问题。 毕竟，基于条件概率公式，我们总是可以写出：

事实上，如果基于一个马尔可夫模型， 我们还可以得到一个反向的条件概率分布。 然而，在许多情况下，数据存在一个自然的方向，即在时间上是前进的。 很明显，未来的事件不能影响过去。 因此，如果我们改变xt，可能会影响未来发生的事情xt+1，但不能反过来。 也就是说，如果我们改变xt，基于过去事件得到的分布不会改变。 因此，解释P(xt+1∣xt)应该比解释P(xt∣xt+1)更容易。 例如，在某些情况下，对于某些可加性噪声ϵ， 显然我们可以找到xt+1=f(xt)+ϵ， 而反之则不行 (Hoyer et al., 2009)。 而这个向前推进的方向恰好也是我们通常感兴趣的方向。

2.训练

  首先，我们生成一些数据：使用正弦函数和一些可加性噪声来生成序列数据， 时间步为1,2,…,1000。

pip install mxnet==1.7.0.post1

pip install d2l==0.17.6

%matplotlib inline
from mxnet import autograd, gluon, init, np, npx
from mxnet.gluon import nn
from d2l import mxnet as d2l

npx.set_np()

T = 1000  # 总共产生1000个点
time = np.arange(1, T + 1, dtype=np.float32)
x = np.sin(0.01 * time) + np.random.normal(0, 0.2, (T,))
d2l.plot(time, [x], 'time', 'x', xlim=[1, 1000], figsize=(6, 3))

接下来，我们将这个序列转换为模型的特征－标签（feature-label）对。 基于嵌入维度τ，我们将数据映射为数据对yt=xt 和xt=[xt−τ,…,xt−1]。 这比我们提供的数据样本少了τ个， 因为我们没有足够的历史记录来描述前τ个数据样本。 一个简单的解决办法是：如果拥有足够长的序列就丢弃这几项； 另一个方法是用零填充序列。 在这里，我们仅使用前600个“特征－标签”对进行训练。

tau = 4
features = np.zeros((T - tau, tau))
for i in range(tau):
    features[:, i] = x[i: T - tau + i]
labels = x[tau:].reshape((-1, 1))

batch_size, n_train = 16, 600
# 只有前n_train个样本用于训练
train_iter = d2l.load_array((features[:n_train], labels[:n_train]),
                            batch_size, is_train=True)

 

 在这里，我们使用一个相当简单的架构训练模型： 一个拥有两个全连接层的多层感知机，ReLU激活函数和平方损失。

# 一个简单的多层感知机
def get_net():
    net = nn.Sequential()
    net.add(nn.Dense(10, activation='relu'),
            nn.Dense(1))
    net.initialize(init.Xavier())
    return net

# 平方损失
loss = gluon.loss.L2Loss()

现在，准备训练模型了。

3.预测 

由于训练损失很小，因此我们期望模型能有很好的工作效果。 让我们看看这在实践中意味着什么。 首先是检查模型预测下一个时间步的能力， 也就是单步预测（one-step-ahead prediction）。

onestep_preds = net(features)
d2l.plot([time, time[tau:]],
         [x.asnumpy(), onestep_preds.asnumpy()], 'time',
         'x', legend=['data', '1-step preds'], xlim=[1, 1000],
         figsize=(6, 3))

正如我们所料，单步预测效果不错。 即使这些预测的时间步超过了600+4（n_train + tau）， 其结果看起来仍然是可信的。 然而有一个小问题：如果数据观察序列的时间步只到604， 我们需要一步一步地向前迈进：

通常，对于直到xt的观测序列，其在时间步t+k处的预测输出x^t+k 称为k步预测（k-step-ahead-prediction）。 由于我们的观察已经到了x604，它的k步预测是x^604+k。 换句话说，我们必须使用我们自己的预测（而不是原始数据）来进行多步预测。 让我们看看效果如何。 

multistep_preds = np.zeros(T)
multistep_preds[: n_train + tau] = x[: n_train + tau]
for i in range(n_train + tau, T):
    multistep_preds[i] = net(
        multistep_preds[i - tau:i].reshape((1, -1)))

d2l.plot([time, time[tau:], time[n_train + tau:]],
         [x.asnumpy(), onestep_preds.asnumpy(),
          multistep_preds[n_train + tau:].asnumpy()], 'time',
         'x', legend=['data', '1-step preds', 'multistep preds'],
         xlim=[1, 1000], figsize=(6, 3))

如上面的例子所示，绿线的预测显然并不理想。 经过几个预测步骤之后，预测的结果很快就会衰减到一个常数。 为什么这个算法效果这么差呢？事实是由于错误的累积： 假设在步骤1之后，我们积累了一些错误ϵ1=ϵ¯。 于是，步骤2的输入被扰动了ϵ1， 结果积累的误差是依照次序的ϵ2=ϵ¯+cϵ1， 其中c为某个常数，后面的预测误差依此类推。 因此误差可能会相当快地偏离真实的观测结果。 例如，未来24小时的天气预报往往相当准确， 但超过这一点，精度就会迅速下降。 我们将在本章及后续章节中讨论如何改进这一点。 

基于k=1,4,16,64，通过对整个序列预测的计算， 让我们更仔细地看一下k步预测的困难。

max_steps = 64

features = np.zeros((T - tau - max_steps + 1, tau + max_steps))
# 列i（i=tau）是来自（i-tau+1）步的预测，其时间步从（i）到（i+T-tau-max_steps+1）
for i in range(tau, tau + max_steps):
    features[:, i] = net(features[:, i - tau:i]).reshape(-1)

steps = (1, 4, 16, 64)
d2l.plot([time[tau + i - 1: T - max_steps + i] for i in steps],
         [features[:, tau + i - 1].asnumpy() for i in steps], 'time', 'x',
         legend=[f'{i}-step preds' for i in steps], xlim=[5, 1000],
         figsize=(6, 3))

以上例子清楚地说明了当我们试图预测更远的未来时，预测的质量是如何变化的。 虽然“4步预测”看起来仍然不错，但超过这个跨度的任何预测几乎都是无用的。

4.总结

• 内插法（在现有观测值之间进行估计）和外推法（对超出已知观测范围进行预测）在实践的难度上差别很大。因此，对于所拥有的序列数据，在训练时始终要尊重其时间顺序，即最好不要基于未来的数据进行训练。

• 序列模型的估计需要专门的统计工具，两种较流行的选择是自回归模型和隐变量自回归模型。

• 对于时间是向前推进的因果模型，正向估计通常比反向估计更容易。

• 对于直到时间步t的观测序列，其在时间步t+k的预测输出是“k步预测”。随着我们对预测时间k值的增加，会造成误差的快速累积和预测质量的极速下降。