gmm聚类python_GMM与EM算法的Python实现

高斯混合模型(GMM)是一种常用的聚类模型，通常我们利用最大期望算法(EM)对高斯混合模型中的参数进行估计。

本教程中，我们自己动手一步步实现高斯混合模型。

高斯混合模型(Gaussian Mixture Model，GMM)是一种软聚类模型。 GMM也可以看作是K-means的推广，因为GMM不仅是考虑到了数据分布的均值，也考虑到了协方差。和K-means一样，我们需要提前确定簇的个数。

GMM的基本假设为数据是由几个不同的高斯分布的随机变量组合而成。如下图，我们就是用三个二维高斯分布生成的数据集。

2. 最大期望算法(Expectation–Maximization, EM)

有了隐变量还不够，我们还需要一个算法来找到最佳的W，从而得到GMM的模型参数。EM算法就是这样一个算法。

简单说来，EM算法分两个步骤。第一个步骤是E(期望)，用来更新隐变量WW；

第二个步骤是M(最大化)，用来更新GMM中各高斯分布的参量

然后重复进行以上两个步骤，直到达到迭代终止条件。

3. 具体步骤以及Python实现

完整代码在第4节。

首先，我们先引用一些我们需要用到的库和函数。

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from matplotlib.patches import Ellipse

from scipy.stats import multivariate_normal

plt.style.use('seaborn')

接下来，我们生成2000条二维模拟数据，其中400个样本来自N(μ1,var1)N(μ1,var1)，600个来自N(μ2,var2)N(μ2,var2)，1000个样本来自N(μ3,var3)N(μ3,var3)

# 第一簇的数据

num1, mu1, var1 = 400, [0.5, 0.5], [1, 3]

X1 = np.random.multivariate_normal(mu1, np.diag(var1), num1)

# 第二簇的数据

num2, mu2, var2 = 600, [5.5, 2.5], [2, 2]

X2 = np.random.multivariate_normal(mu2, np.diag(var2), num2)

# 第三簇的数据

num3, mu3, var3 = 1000, [1, 7], [6, 2]

X3 = np.random.multivariate_normal(mu3, np.diag(var3), num3)

# 合并在一起

X = np.vstack((X1, X2, X3))

数据如下图所示：

plt.figure(figsize=(10, 8))

plt.axis([-10, 15, -5, 15])

plt.scatter(X1[:, 0], X1[:, 1], s=5)

plt.scatter(X2[:, 0], X2[:, 1], s=5)

plt.scatter(X3[:, 0], X3[:, 1], s=5)

plt.show()

3.1 变量初始化

首先要对GMM模型参数以及隐变量进行初始化。通常可以用一些固定的值或者随机值。

n_clusters是GMM模型中聚类的个数，和K-Means一样我们需要提前确定。这里通过观察可以看出是3。(拓展阅读：如何确定GMM中聚类的个数？)

n_points是样本点的个数。

Mu是每个高斯分布的均值。

Var是每个高斯分布的方差，为了过程简便，我们这里假设协方差矩阵都是对角阵。

W是上面提到的隐变量，也就是每个样本属于每一簇的概率，在初始时，我们可以认为每个样本属于某一簇的概率都是1/31/3。

Pi是每一簇的比重，可以根据W求得，在初始时，Pi = [1/3, 1/3, 1/3]

n_clusters = 3

n_points = len(X)

Mu = [[0, -1], [6, 0], [0, 9]]

Var = [[1, 1], [1, 1], [1, 1]]

Pi = [1 / n_clusters] * 3

W = np.ones((n_points, n_clusters)) / n_clusters

Pi = W.sum(axis=0) / W.sum()

3.2 E步骤

E步骤中，我们的主要目的是更新W。第ii个变量属于第mm簇的概率为：

Wi,m=πjP(Xi|μm,varm)∑3j=1πjP(Xi|μj,varj)Wi,m=πjP(Xi|μm,varm)∑j=13πjP(Xi|μj,varj)

根据WW，我们就可以更新每一簇的占比πmπm，

πm=∑ni=1Wi,m∑kj=1∑ni=1Wi,jπm=∑i=1nWi,m∑j=1k∑i=1nWi,j

def update_W(X, Mu, Var, Pi):

n_points, n_clusters = len(X), len(Pi)

pdfs = np.zeros(((n_points, n_clusters)))

for i in range(n_clusters):

pdfs[:, i] = Pi[i] * multivariate_normal.pdf(X, Mu[i], np.diag(Var[i]))

W = pdfs / pdfs.sum(axis=1).reshape(-1, 1)

return W

def update_Pi(W):

Pi = W.sum(axis=0) / W.sum()

return Pi

以下是计算对数似然函数的logLH以及用来可视化数据的plot_clusters。

def logLH(X, Pi, Mu, Var):

n_points, n_clusters = len(X), len(Pi)

pdfs = np.zeros(((n_points, n_clusters)))

for i in range(n_clusters):

pdfs[:, i] = Pi[i] * multivariate_normal.pdf(X, Mu[i], np.diag(Var[i]))

return np.mean(np.log(pdfs.sum(axis=1)))

def plot_clusters(X, Mu, Var, Mu_true=None, Var_true=None):

colors = ['b', 'g', 'r']

n_clusters = len(Mu)

plt.figure(figsize=(10, 8))

plt.axis([-10, 15, -5, 15])

plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], s=5)

ax = plt.gca()

for i in range(n_clusters):

plot_args = {'fc': 'None', 'lw': 2, 'edgecolor': colors[i], 'ls': ':'}

ellipse = Ellipse(Mu[i], 3 * Var[i][0], 3 * Var[i][1], **plot_args)

ax.add_patch(ellipse)

if (Mu_true is not None) & (Var_true is not None):

for i in range(n_clusters):

plot_args = {'fc': 'None', 'lw': 2, 'edgecolor': colors[i], 'alpha': 0.5}

ellipse = Ellipse(Mu_true[i], 3 * Var_true[i][0], 3 * Var_true[i][1], **plot_args)

ax.add_patch(ellipse)

plt.show()

3.2 M步骤

M步骤中，我们需要根据上面一步得到的W来更新均值Mu和方差Var。 Mu和Var是以W的权重的样本X的均值和方差。

因为这里的数据是二维的，第mm簇的第kk个分量的均值，

μm,k=∑ni=1Wi,mXi,k∑ni=1Wi,mμm,k=∑i=1nWi,mXi,k∑i=1nWi,m

第mm簇的第kk个分量的方差，

varm,k=∑ni=1Wi,m(Xi,k−μm,k)2∑ni=1Wi,mvarm,k=∑i=1nWi,m(Xi,k−μm,k)2∑i=1nWi,m

以上迭代公式写成如下函数update_Mu和update_Var。

def update_Mu(X, W):

n_clusters = W.shape[1]

Mu = np.zeros((n_clusters, 2))

for i in range(n_clusters):

Mu[i] = np.average(X, axis=0, weights=W[:, i])

return Mu

def update_Var(X, Mu, W):

n_clusters = W.shape[1]

Var = np.zeros((n_clusters, 2))

for i in range(n_clusters):

Var[i] = np.average((X - Mu[i]) ** 2, axis=0, weights=W[:, i])

return Var

3.3 迭代求解

下面我们进行迭代求解。

图中实现是真实的高斯分布，虚线是我们估计出的高斯分布。可以看出，经过5次迭代之后，两者几乎完全重合。

loglh = []

for i in range(5):

plot_clusters(X, Mu, Var, [mu1, mu2, mu3], [var1, var2, var3])

loglh.append(logLH(X, Pi, Mu, Var))

W = update_W(X, Mu, Var, Pi)

Pi = update_Pi(W)

Mu = update_Mu(X, W)

print('log-likehood:%.3f'%loglh[-1])

Var = update_Var(X, Mu, W)

log-likehood:-8.054

log-likehood:-4.731

log-likehood:-4.729

log-likehood:-4.728

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