二阶龙格库塔公式推导_数值常微分方程-欧拉法与龙格-库塔法
大三时候在跳蚤市场闲逛，从一位数学院的学长那里买了一些闲书，最近翻出来刚好有李荣华、刘播老师的《微分方程数值解法》和王仁宏老师的《数值逼近》，结合周善贵老师的《计算物理》课程，整理一下笔记。
本文整理常微分方程数值求解的欧拉法与龙格-库塔法。
一般地，动力学系统的时间演化可以用常微分方程的初值问题来描述，例如设一维简谐运动的回复力：
，有则运动方程：
。令
，可以将二阶微分方程转化为一阶微分方程组：
因此本文主要整理一阶常微分方程初值问题的数值解法。
一阶常微分方程初值问题
设
在区域
：
上连续，对于一个给定的常微分方程
及初值
，求解
。为了保证解
存在、唯一且连续依赖初值
，要求
满足Lipschitz条件：
存在常数L，使得
对所有
和
成立。
假设
总满足上述条件。常用的近似解法有级数解法等近似解析方法，以及下文整理的数值方法：欧拉法与龙格-库塔法。
欧拉法
将区间
作N等分，每一小区间长度
称为步长，
称为节点。根据初值
，代入微分方程可直接解出
的导数值
。
推导
1、根据泰勒展开式：
略去二阶小量，得：
以此类推，得到递推公式：
2、数值积分推导
由
可得：
，使用左矩形积分得：
以此类推，可得到：
为了提高精度，可以使用梯形积分代替矩形积分，即：
以此类推，得到改进的欧拉法：
Python计算实例
以
为例，其精确解为
，使用欧拉法求解的Python代码如下：
import math
from matplotlib import pyplot as plt
t_0 = 0
y_0 = 1
tau = 0.1
i = 1
solve = []
Euler = []
t = []
while i < 100:
if i == 1:
y_n = y_0
t_n = t_0
Euler.append(y_n)
solve.append(math.exp(t_n))
t.append(t_n)
func = y_n
y_n = y_n + tau * func
t_n = t_n + tau
i += 1
plt.plot(t, Euler, c='green', label=' Euler method')
plt.plot(t, solve, c='red', label=' accuracy')
plt.fill_between(t, solve, Euler, facecolor='blue', alpha=0.2)
plt.title('Euler method', fontsize=19)
plt.xlabel('t', fontsize=19)
plt.ylabel('y', fontsize=19)
plt.legend()
plt.show()
作图可以看到，当迭代步数较多后，欧拉法的结果逐渐落后于精确指数解的增长速度。下面分析欧拉法的误差来源。
在
中，略去了高阶小量
，因此在每一步的递推中，都有局部截断误差
，其阶为
。
在计算中，我们更关心精确解和数值解之间的误差
，称为整体误差，其满足
根据Lipschitz条件，可得：
由
且
，可得：
局部截断误差
是
的二阶量，设
，得：
，整体误差是
的一阶量。同理可得，改进的欧拉法局部截断误差
是
的三阶量
，整体误差是
的二阶量
。
稳定性分析
如果计算的初值不能精确给定，例如存在测量、舍入误差等，在计算过程中，每一步传递的误差连续依赖于初始误差，则称算法稳定，否则该算法不稳定。
对于不同的初值
和
，有
两式相减，得：
根据Lipschitz条件，可得：
连续依赖于初始误差，欧拉法稳定。同理，改进的欧拉法也稳定。
龙格-库塔法
龙格库塔法的主要思想：在
点的附近选取一些特定的点，然后把这些点的函数值进行线性组合，使用组合值代替泰勒展开中
点的导数值。
将
泰勒展开：
令
，根据多元函数求导法则有：
以此类推，可以得到：
同时，我们可以写出泰勒展开的形式解:
其中：
通项为：
基本思路是，利用当前点的函数值
可以计算出
，然后引入参数
和步长
可以计算出
，之后使用
和步长
计算
，以此类推，直到
。
现在把
展开：
将
代入得：
将
代入
可得：
与泰勒展开式
相比较，可知：
2个方程有3个未知数，因此有无穷多个解，可采用
，
，
，则：
令
，
，可以改写为：
此即为二阶龙格-库塔法。
与上一节的欧拉法公式对比：
，因此二阶龙格-库塔法取参数
，
，
时，即为改进的欧拉法。
Python计算实例
仍以
为例，其精确解为
，使用二阶龙格-库塔法求解的Python代码如下：
import math
from matplotlib import pyplot as plt
t_0 = 0
y_0 = 1
z_0 = 1
tau = 0.1
i = 1
j = 1
solve = []
Euler = []
R_K = []
t = []
while i < 100:
if i == 1:
y_n = y_0
t_n = t_0
R_K.append(y_n)
solve.append(math.exp(t_n))
t.append(t_n)
func_n = y_n
func_m = y_n + tau * func_n
y_n = y_n + 0.5 * tau * (func_n + func_m)
t_n = t_n + tau
i += 1
t = []
while j < 100:
if j == 1:
z_n = z_0
t_n = t_0
Euler.append(z_n)
t.append(t_n)
func = z_n
z_n = z_n + tau * func
t_n = t_n + tau
j += 1
plt.scatter(t, R_K, marker='^', c='blue', s=70, label=' R-K method')
plt.plot(t, Euler, c='green', label=' Euler method')
plt.plot(t, solve, c='red', label=' accuracy')
plt.fill_between(t, solve, Euler, facecolor='yellow', alpha=0.2)
plt.title('Euler method & R-K method', fontsize=19)
plt.xlabel('t', fontsize=19)
plt.ylabel('y', fontsize=19)
plt.legend()
plt.show()
黄色部分表示数值解和精确解的偏离，可以看到，二阶龙格-库塔法(改进的欧拉法)精确度得到了很大的提升。
二阶龙格-库塔法中，泰勒展开到了
阶，通过与泰勒展开系数进行对比，可以得到含3个未知数的2个方程。依次类推，如果泰勒展开到了
阶，对比
可以得到
级
阶龙格-库塔法。常用经典四阶龙格-库塔法：
Reference：
1、周善贵，《计算物理》课程讲义
2、李荣华，刘播，《微分方程数值解法》
3、王仁宏，《数值逼近》