智能优化算法：天鹰优化算法-附代码

智能优化算法：天鹰优化算法

摘要：天鹰优化算法（Aquila Optimizer，AO）是于2021年提出的一种新型智能优化算法，该算法主要模拟天鹰在捕捉猎物过程中的自然行为，来达到寻优的目的，具有寻优能力强，收敛速度快等特点。

1.算法原理

1.1 初始化

与其他优化算法一样，种群在搜索范围内随机初始化位置。
$$X_{ij}=\mathrm{rand}\times \left(U{B}_j-L{B}_j\right)+L{B}_j,i=1,2,\cdots ,Nj=1,2,\cdots ,\text{ Dim }\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$rand$是一个随机向量，$L{B}_j$表示给定问题的第$j$个下界，$U{B}_j$表示给定问题的第$j$个上界。

AO算法的优化过程用四种方法表示：通过垂直俯冲的高空飞行选择搜索空间、通过短滑翔攻击的等高线飞行在发散搜索空间内探索、通过慢速下降攻击的低空飞行在收敛搜索空间内开发、通过徒步猛扑并抓住猎物。如果 $t\le \frac{2}{3}T$，则AO算法可使用不同的行为从探索步骤转移到开发步骤；否则，将很好地执行开发步骤。

1.2 扩大搜索（$X_1$）

在第一种方法$(X_1)$中，天鹰识别猎物区域，并通过垂直弯腰的高飞选择最佳狩猎区域。此时，AO让来自高空的探险者四处飞翔，以确定猎物所在的搜索空间区域。该行为的数学模型如式(2)所示：
$$X_1(t+1)=X_{best}(t)\times \left(1-\frac{t}{T}\right)+\left(X_M(t)-X_{best}(t)\ast rand\right)\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$X_M(t)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{X}_i(t),\forall j=1,2,\cdots ,\text{ Dim }\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中，$X_1(t+1)$是由第一种搜索方法$(X_1)$生成的第$t+1$次迭代的解；$X_{best}(t)$是在第$t$次迭代之前获得的最佳解，这反映了猎物的近似位置；$(1-\frac{t}{T})$用于通过迭代次数控制扩展搜索(探索)；$X_M(t)$表示在第$t$次迭代时当前解的平均值，该平均值使用式(3)计算；$rand$是介于0和1之间的随机值；$r$和$T$分别表示当前迭代和最大迭代次数。$Dim$是问题的维度大小，$N$是候选解的数量(种群规模)。

1.3 缩小搜索（$X_2$）

在第二种方法（$X_2$）中，当从高空发现猎物区域时，天鹰在目标猎物上方盘旋，准备着陆陆地，然后攻击，这种方法称为短滑翔攻击的等高线飞行。在这里，AO狭窄地探索目标猎物的选定区域，为攻击做准备。该行为的数学模式如式(4)所示：
$$X_2(t+1)=X_{\text{best }}(t)\times \mathrm{Levy}(D)+X_R(t)+(y-x)\ast \text{ rand }\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中，$X_2(t+1)$是由第二个搜索方法（$X_2$）生成的第$t+1$次迭代的解；$D$是维度空间大小；$Levy(D)$是Levy飞行分布函数，使用式(5)计算；$X_R(t)$是在第$t$次迭代时在$[1,N]$范围内获得的随机解。
$$\mathrm{Levy}(D)=s\times \frac{u\times \sigma }{|v{|}^{\frac{1}{\beta }}}\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中，$s=0.01$，$u$和$v$分别为服从$N(0,{\sigma }^2)$ 和$N(0,1)$的高斯分布随机数，$\sigma$计算如式(6)所示。
$$\sigma ={\left(\frac{\Gamma (1+\beta )\times \sin \left(\frac{\pi \beta }{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{1+\beta }{2}\right)\times \beta \times 2\left(\frac{\beta -1}{2}\right)}\right)}^{\frac{1}{\beta }}\text{\hspace{1em}(6)}$$
其中 $\beta =1.5$。在式(4)中，$y$和$x$用于表示搜索中的螺旋形状，计算如下：
$$y=r\times \cos (\theta )\text{\hspace{1em}(7)}$$

$$x=r\times \sin (\theta )\text{\hspace{1em}(8)}$$

其中：
$$r=r_1+U\times D_1\text{\hspace{1em}(9)}$$

$$\theta =-\omega \times D_1+{\theta }_1\text{\hspace{1em}(10)}$$

$${\theta }_1=\frac{3\times \pi }{2}\text{\hspace{1em}(11)}$$

$r_1$取1到20之间的值，用于固定搜索周期数；$U$是固定为0.00565的值； $D_1$是从1到搜索空间维数($Dim$)的整数；$\omega$是固定为0.005的值。

1.4 扩大开发（$X_3$）

在第三种方法($X_3$)中，当天鹰准确地指定了猎物区域，并且准备好着陆和攻击时，天鹰垂直下降并进行初步攻击，以发现猎物反应。这种方法称为低空慢降攻击。在这里，AO利用目标的选定区域接近猎物并进行攻击。这种行为在数学上如式(12)所示：
$$X_3(t+1)=\left(X_{\text{best }}(t)-X_M(t)\right)\times \alpha -\text{ rand }+((UB-LB)\times \text{ rand }+LB)\times \delta \text{\hspace{1em}(12)}$$
其中，$X_3(t+1)$是由第三种搜索方法($X_3$)生成的第$t+1$次迭代的解；$X_{best}(t)$表示第$t$次迭代前猎物的近似位置(获得的最佳解)；$X_M(t)$表示第$t$次迭代时当前解的平均值，该平均值使用式(3)计算；$rand$是一个介于0和1之间的随机值；$\alpha$和$\delta$是本文中固定为较小值(0.1)的开发调整参数；$LB$表示给定问题的下界，$UB$表示给定问题的上界。

1.5扩大开发（$X_4$）

在第三种方法($X_4$)中，当天鹰接近猎物时，它根据其随机运动在陆地上攻击猎物。这种方法称为“行走并抓住猎物”，AO在最后一个位置攻击猎物。该行为的数学模型如式(13)所示：
$$X_4(t+1)=QF(t)\times X_{best}(t)-\left(G_1\times X(t)\times \mathrm{rand}\right)-G_2\times \mathrm{Levy}(D)+\mathrm{rand}\times G_1\text{\hspace{1em}(13)}$$
其中，$X_4(t+1)$是由第四种搜索方法($X_4$)生成的第$t+1$次迭代的解；$QF(t)$表示在第$t$次迭代时用于平衡搜索策略的质量函数，其使用式(14)计算；$G_1$表示在搜索猎物期间用于跟踪猎物的AO的各种运动，其使用式(15)计算；$G_2$呈现从2到0的递减值，表示AO的飞行速率，AO用于在从第一个位置到最后一个位置的过程中跟踪猎物，使用式(16)产生；$X(t)$是第$t$次迭代的当前解。
$$QF(t)=t^{\frac{2\times \text{ rand }-1}{(1-T{)}^2}}\text{\hspace{1em}(14)}$$

$$G_1=2\times \text{ rand }-1\text{\hspace{1em}(15)}$$

$$G_2=2\times \left(1-\frac{t}{T}\right)\text{\hspace{1em}(16)}$$

其中，$rand$是介于0和1之间的随机值；$t$和$T$分别表示当前迭代和最大迭代次数。

算法伪代码如下：

1: Initialization phase:
2: Initialize the population X of the AO.
3: Initialize the parameters of the AO (i.e.,  α ,δ, etc).
4: WHILE (The end condition is not met) do
5: Calculate the fitness function values.
6: X best (t)= Determine the best obtained solution according to the fitness values.
7: for (i = 1,2…,N) do
8: Update the mean value of the current solution X M (t).
9: Update the x,y,G 1 ,G 2 , Levy(D), etc.
10: if t⩽( 2
3 )∗T then
11:  if rand⩽0.5 then
12:  ▹ Step 1: Expanded exploration (X 1 )
13:  Update the current solution using Eq. (2).
14:  if Fitness(X 1 (t + 1)) < Fitness(X(t)) then
15:  X(t) =(X 1 (t + 1))
16:  if Fitness(X 1 (t + 1)) < Fitness(X best (t)) then
17:  X best (t) =X 1 (t + 1)
18:  end if
19:  end if
20:  else
21:  {▹ Step 2: Narrowed exploration (X 2 )}
22:  Update the current solution using Eq. (4).
23:  if Fitness(X 2 (t + 1)) < Fitness(X(t)) then
24:  X(t) =(X 2 (t + 1))
25:  if Fitness(X 2 (t + 1)) < Fitness(X best (t)) then
26:  X best (t) =X 2 (t + 1)
27:  end if
28:  end if
29:  end if
30:  else
31:  if rand⩽0.5 then
32:  {▹ Step 3: Expanded exploitation (X 3 )}
33:  Update the current solution using Eq. (12).
34:  if Fitness(X 3 (t + 1)) < Fitness(X(t)) then
35:  X(t) =(X 3 (t + 1))
36:  if Fitness(X 3 (t + 1)) < Fitness(X best (t)) then
37:  X best (t) =X 3 (t + 1)
38:  end if
39:  end if
40:  else
41:  ▹ Step 4: Narrowed exploitation (X 4 )
42:  Update the current solution using Eq. (13).
43:  if Fitness(X 4 (t + 1)) < Fitness(X(t)) then
44:  X(t) =(X 4 (t + 1))
45:  ifFitness(X 4 (t + 1)) < Fitness(X best (t)) then
46:  X best (t) =X 4 (t + 1)
47:  end if
48:  end if
49:  end if
50:  end if
51:  end for
52: end while
53: return The best solution (X best ).

2.实验结果

3.参考文献

[1] Abualigah L , Yousri D , Elaziz M A , et al. Matlab Code of Aquila Optimizer: A novel meta-heuristic optimization algorithm[J]. Computers & Industrial Engineering, 2021.

4.MATLAB代码