卡尔曼滤波基本公式推导（高斯乘积法）
前言
卡尔曼滤波的推导这里给出两种推导方法：一种是利用高斯乘积定理和贝叶斯公式推导出来的，另一种借用的是最小误差的思想（IMSE）。关于卡尔曼滤波的应用场景以及通俗的解释，我相信各位读者已经在不同的平台有了了解，我这里我就不赘述了。
首先我们需要具备高斯乘积定理和贝叶斯公式的具体形式：
高斯乘积定理
其中
贝叶斯公式
在这里直接根据贝叶斯地推公式写出后验概率密度：
其中，
为归一化因子
为似然函数
为预测概率
为
时刻的后验概率估计
这一部分开始正式的推导了！！！
在这里需要提一下，此方法的推导的宏观思路：以贝叶斯公式为方向，以高斯定理为工具进行推导的。
一、卡尔曼滤波的条件假设
1.目标动态方程和观测方程式是线性的：
2.在目标动态方程和观测方程中的噪声必须服从0均值协方差分别为Q、R 的高斯白噪声。
3.K-1时刻的后验概率密度是必须是均值为
和方差为
的形式。
二、目标动态方程和传感器观测方程
- 目标动态方程
式中，
代表的是
时刻的目标状态，g 代表的是二阶连续可微的函数；噪声
是系统随机输入的噪声，用于描述系统模型误差。
2. 观测方程
式中，
代表
时刻目标观测向量，
代表的是二阶连续可微的函数；随机变量
表示观测误差。此方程构造了目标状态
和观测值 之间的定量关系。
三、转移和预测密度函数
首先将状态转移密度表示为：
也可以理解并表示为：
其中
是服从以0为均值的、
为方差的高斯分布的噪声。其中的
是描述系统转移的方程，在大部分系统还有常数项的出现即
。
以上的部分可以称为先验估计的部分。
然后我们在设在
时刻目标的后验概率密度为：
那么预测概率密度为：
Tips：这个式子中可以提出两个问题：
1.为什么
为预测概率?
A1：预测是借助以往的数据对未来或者现在的状态的预测，在这里是将上一时刻的观测值作为依据，对此时刻的状态进行预测。理解为：在观测值为
的条件下，
发生的概率。
2.为何等号右边进行了这样的变形?
A2：在预测概率密度函数
缺少了在k-1 时刻的状态
，所以怎么加入？我们使用积分的方法，在全域对其积分，这样就可以不改变原值的情况下加入 。为什么需要将 加入？因为我们需要使用状态转移密度
和后验概率密度
进行对预测概率密度
求解即
之后我们将先前假设的状态转移密度)
、后验概率密度
代入上式可以得到：
其中，
至此，转移和预测概率密度函数都已推导完成。卡尔曼滤波预测功能的公式推导完成，总体可概括为以下两个式子：
四、似然函数（观测）与归一化因子
首先我们先假设似然函数需要满足：
同上我们也可以将它化成：
其中
是测量噪声，服从0均值、
为协方差的高斯分布。
在贝叶斯递推公式中的归一化可以表示为：
其中
这里运用积分的目的也是为了加入归一化中本身不含有的一项因子（这里是
）。同样是使用高斯乘积定理得到最后的结果。
至此似然函数和归一化因子的推导完成。在我的理解里：似然函数的含义就是“应该是这样”的猜测，结合在这里就是借助此时刻先验估计
对测量值
的估计。归一化因子的作用：保证贝叶斯后验估计分布特性是一个概率密度函数，也可以根据其式子
与 的类比可以得到，这是根据前一时刻测量结果估计此时刻的一个概率估计。
五、条件密度函数
我们将之前推导得到的预测函数（先验）、似然函数、归一化参数代入贝叶斯递推公式中可得：
再使用高斯乘积定理可以得到：
然后约分可以得到：
其中
这里的
就是卡尔曼增益，是卡尔曼递推中及其重要的一个变量，后验估计和最终的估计都是借助卡尔曼增益运算的结果。
总结一下 ：卡尔曼滤波基本公式
：先验估计表征的是从上一时刻到此时刻系统变化规律。
： 先验估计协方差
：测量函数式是测量值和先验估计的桥梁。
：归一化参数式的协方差。
：卡尔曼增益。
：后验估计是系统最终采取的值。
：后验估计协方差