卡尔曼滤波基本公式推导（高斯乘积法）

 前言

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       卡尔曼滤波的推导这里给出两种推导方法：一种是利用高斯乘积定理和贝叶斯公式推导出来的，另一种借用的是最小误差的思想（IMSE）。关于卡尔曼滤波的应用场景以及通俗的解释，我相信各位读者已经在不同的平台有了了解，我这里我就不赘述了。

       首先我们需要具备高斯乘积定理和贝叶斯公式的具体形式：

 高斯乘积定理

​​​其中

贝叶斯公式

           在这里直接根据贝叶斯地推公式写出后验概率密度： ​

 其中，

为归一化因子

为似然函数

为预测概率

为 时刻的后验概率估计

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这一部分开始正式的推导了！！！

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        在这里需要提一下，此方法的推导的宏观思路：以贝叶斯公式为方向，以高斯定理为工具进行推导的。

一、卡尔曼滤波的条件假设

         1.目标动态方程和观测方程式是线性的：

 

        2.在目标动态方程和观测方程中的噪声必须服从0均值协方差分别为Q、R  的高斯白噪声。

        3.K-1时刻的后验概率密度是必须是均值为   和方差为  的形式。

 二、目标动态方程和传感器观测方程

1. 目标动态方程

式中， 代表的是 时刻的目标状态，g 代表的是二阶连续可微的函数；噪声 是系统随机输入的噪声，用于描述系统模型误差。

    2. 观测方程

式中，   代表 时刻目标观测向量， 代表的是二阶连续可微的函数；随机变量 表示观测误差。此方程构造了目标状态 和观测值 之间的定量关系。

三、转移和预测密度函数

首先将状态转移密度表示为：

也可以理解并表示为：

其中  是服从以0为均值的、 为方差的高斯分布的噪声。其中的 是描述系统转移的方程，在大部分系统还有常数项的出现即 。

以上的部分可以称为先验估计的部分。

然后我们在设在 时刻目标的后验概率密度为：

 那么预测概率密度为：

Tips：这个式子中可以提出两个问题：

1.为什么   为预测概率?

        A1：预测是借助以往的数据对未来或者现在的状态的预测，在这里是将上一时刻的观测值作为依据，对此时刻的状态进行预测。理解为：在观测值为 的条件下， 发生的概率。

2.为何等号右边进行了这样的变形?

        A2：在预测概率密度函数 缺少了在k-1 时刻的状态 ，所以怎么加入？我们使用积分的方法，在全域对其积分，这样就可以不改变原值的情况下加入 。为什么需要将 加入？因为我们需要使用状态转移密度 和后验概率密度 进行对预测概率密度 求解即

        之后我们将先前假设的状态转移密度) 、后验概率密度 代入上式可以得到：

                           

其中，

至此，转移和预测概率密度函数都已推导完成。卡尔曼滤波预测功能的公式推导完成，总体可概括为以下两个式子：

四、似然函数（观测）与归一化因子

首先我们先假设似然函数需要满足：

同上我们也可以将它化成：

其中 是测量噪声，服从0均值、 为协方差的高斯分布。

在贝叶斯递推公式中的归一化可以表示为：

其中

       这里运用积分的目的也是为了加入归一化中本身不含有的一项因子（这里是 ）。同样是使用高斯乘积定理得到最后的结果。

        至此似然函数和归一化因子的推导完成。在我的理解里：似然函数的含义就是“应该是这样”的猜测，结合在这里就是借助此时刻先验估计 对测量值 的估计。归一化因子的作用：保证贝叶斯后验估计分布特性是一个概率密度函数，也可以根据其式子 与 的类比可以得到，这是根据前一时刻测量结果估计此时刻的一个概率估计。

五、条件密度函数

我们将之前推导得到的预测函数（先验）、似然函数、归一化参数代入贝叶斯递推公式中可得：

 再使用高斯乘积定理可以得到：

 然后约分可以得到：

其中

这里的  就是卡尔曼增益，是卡尔曼递推中及其重要的一个变量，后验估计和最终的估计都是借助卡尔曼增益运算的结果。

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总结一下 ：卡尔曼滤波基本公式

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 ：先验估计表征的是从上一时刻到此时刻系统变化规律。

 ： 先验估计协方差

：测量函数式是测量值和先验估计的桥梁。

：归一化参数式的协方差。

：卡尔曼增益。

：后验估计是系统最终采取的值。

：后验估计协方差