TOPSIS法

TOPSIS法

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法
TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

模型介绍

层次分析法的一些局限性

（1）评价的决策层和方案层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大。

（2）如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得评价的更加准确呢？

例子

小明同宿舍共有四名同学，他们第一学期的高数成绩如下表所示：请你为这四名同学进行评分，该评分能合理的描述其高数成绩的高低。

姓名	成绩
小明	89
小王	60
小张	74
清风	99

评分越大越好，但是排名越小越好，所以要对排名进行修正，再用归一化，就是每个数除以相加的和，得到评分（和为1）。

但是对于高数成绩来说，差别很大，但是排名固定不变，所以评分不是很合理。

姓名	成绩	排名	修正后的排名	评分
小明	89	2	3	3/10 = 0.3
小王	60	4	1	1/10 = 0.1
小张	74	3	2	2/10 = 0.2
清风	90	1	4	4/10 = 0.4

该想法的不合理之处：对于这种方法，可以随便修改成绩，只要保证排名不变，那么评分就不会改变！

比较好的想法

最高成绩max:99 最低成绩min:60

构造计算评分的公式：
$$\frac{x-min}{max-min}$$

姓名	成绩	未归一化的评分	归一化评分
小明	89	(89-60)/(99-60)=0.74	0.74/2.1 =0.35
小王	60	(66-60)/(99-60)=0	0/2.1 = 0
小张	74	(74-60)/(99-60)=0.36	0.36/2.1 =0.17
清风	99	(99-60)/(99-60)=1	1/2.1 =0.48

要说明的问题

卷面最高成绩：100 卷面最低成绩：0

构造计算评分的公式：
$$\frac{x-0}{100-0}$$

姓名	成绩	未归一化的评分	归一化评分
小明	89	0.89	0.28
小王	60	0.60	0.19
小张	74	0.74	0.23
清风	99	0.99	0.30

三点解释

（1）比较的对象一般要远大于两个。（例如比较一个班级的成绩）
（2）比较的指标也往往不只是一个方面的，例如成绩、工时数、课外竞赛得分等。
（3）有很多指标不存在理论上的最大值和最小值，例如衡量经济增长水平的指标：GDP增速。

构造计算评分的公式：
$$\frac{x-min}{max-min}$$

拓展问题

增加指标个数

新增加了一个指标，现在要综合评价四位同学，并为他们进行评分。

姓名	成绩	与他人争吵的次数
小明	89	2
小王	60	0
小张	74	1
清风	99	3

成绩是越高（大）越好，这样的指标称为极大型指标（效益型指标）。
与他人争吵的次数越少（越小）越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）。

统一指标类型

将所有的指标转化为极大型称为指标正向化（最常用）

姓名	成绩	与他人争吵的次数	正向化后的争吵次数
小明	89	2	1
小王	60	0	3
小张	74	1	2
清风	99	3	0
指标类型	极大型	极小型	极大型

极小型指标转换为极大型指标的公式：
$$max-x$$

标准化处理

姓名	成绩	正向化后的争吵次数
小明	89	1
小王	60	3
小张	74	2
清风	99	0
指标类型	极大型	极大型

为了消去不同指标量纲的影响，需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理。

标准化处理的计算公式

假设有n个要评价的对象，m个评价指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下，

	x11	x12	...	x1m
X=  x21	x22 ... x2m
	... ... ... ...
	xn1	xn2	... xnm	

那么，对其标准化的矩阵即为Z，Z中的每一个元素
$$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}^2}}$$

89	1						0.5437	0.2673
60	3	经过标准化就变成了	  0.3665  0.8018
74	2						0.4520  0.5345
99	0						0.6048  0

代码如下：

X = [89,1; 60,3; 74,2; 99,0]
[n , m] = size(X)
X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1)

如何计算得分

姓名	成绩	正向化后的争吵次数
小明	89	1
小王	60	3
小张	74	2
清风	99	0
指标类型	极大型	极大型

只有一个指标的时候，构造计算评分的公式：
$$\frac{x-min}{max-min}$$
有多个指标，变形后：
$$\frac{x-min}{max-min}=\frac{x-min}{(max-x)+(x-min)}$$
可看作：
$$\frac{\mathbf{x}与最小值的距离}{\mathbf{x}与最大值的距离+\mathbf{x}与最小值的距离}$$
类比只有一个指标计算得分

假设有n个要评价的对象，m个评价指标的标准化矩阵

	z11	z12	...	z1m
Z=  z21	z22 ... z2m
	... ... ... ...
	zn1	zn2	... znm	

$$\frac{\mathbf{x}与最小值的距离}{\mathbf{x}与最大值的距离+\mathbf{x}与最小值的距离}$$

定义最大值
$$Z^{+}=(Z_1^{+},Z_2^{+},...,Z_m^{+})=(max\{z_{11},z_{21},...,z_{n1}\},max\{z_{12},z_{22},...,z_{n2}\},...,max\{z_{1m},z_{2m},...,z_{nm}\})$$
这里的Z⁺其实是一个向量，每一个列向量都是每一列中的最大值

定义最小值
$$Z^{-}=(Z_1^{-},Z_2^{-},...,Z_m^{-})=(min\{z_{11},z_{21},...,z_{n1}\},min\{z_{12},z_{22},...,z_{n2}\},...,min\{z_{1m},z_{2m},...,z_{nm}\})$$
定义第i(i=1,2,…,n)个评价对象与最大值的距离
$$D_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_j^{+}-Z_{ij}{)}^2}$$

定义第i(i=1,2,…,n)个评价对象与最小值的距离
$$D_i^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_j^{-}-Z_{ij}{)}^2}$$
那么，我们可以计算出第i(i=1,2,…,n)个评价对象未归一化的得分：
$$S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$$
很明显0<=S_i<=1，且S_i越大D_i⁺越小，即越接近最大值

姓名	成绩	正向化后的争吵次数
小明	0.5437	0.2673
小王	0.3665	0.8018
小张	0.4520	0.5345
清风	0.6048	0

		0.5437	0.2673
Z = 	0.3665	0.8018
		0.4520	0.5345
		0.6048	0

最大值：[0.6048, 0.8018], 最小值：[0.3665, 0]

X = [89,1;60,3;74,2;99,0]
[n , m] = size(X);
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5,n,1);
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5 %D+向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5 %D-向量

$$\begin{gathered} D_{小明}^{+}=\sqrt{(0.6048-0.5437{)}^2+(0.8018-0.2673{)}^2}=0.5380 \\ {D}_{小明}^{-}=\sqrt{(0.3665-0.5437{)}^2+(0-0.2673{)}^2}=0.3206 \\ {D}_{小王}^{+}=\sqrt{(0.6048-0.3665{)}^2+(0.8018-0.8018{)}^2}=0.2382 \\ {D}_{小王}^{-}=\sqrt{(0.3665-0.3665{)}^2+(0-0.8018{)}^2}=0.8018 \end{gathered}$$

未归一化的得分：
$$S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$$

姓名	D+	D-	未归一化的得分	归一化后的得分	排名
小明	0.5380	0.3206	0.3734	0.1857	3
小王	0.2382	0.8018	0.7709	0.3834	1
小张	0.3078	0.5413	0.6375	0.3170	2
清风	0.8018	0.2382	0.2291	0.1139	4

TOPSIS的介绍

C.L.Hwang 和K.Yoon 于1981年首次提出TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)，可翻译为逼近理
想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。
TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。
基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理）得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

第一步：将原始矩阵正向化

最常见的四种指标：

指标名称	指标特点	例子
极大型（效益型）	指标越大（多）越好	成绩、GDP增速、企业利润
极小型（成本型）	指标越小（少）越好	费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	水质量评估时的PH值
区间型指标	落在某个区间最好	体温、水中植物性营养物量

所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。（转换的函数形式可以不唯一哦~ ）

极小型指标 -> 极大型指标

姓名	成绩	与他人争吵的次数	正向化后的争吵次数
小明	89	2	1
小王	60	0	3
小张	74	1	2
清风	99	3	0
指标类型	极大型	极小型	极大型

极小型指标转换为极大型指标的公式：
$$max-x$$
如果所有的元素均为正数，那么也可以使用
$$\frac{1}{x}$$

中间型指标 -> 极大型指标

中间型指标：指标值既不要太大也不要太小，取某特定值最好（如水质量评估PH 值）

{x_i} 是一组中间型指标序列，且最佳的数值为x_best，那么正向化的公式如下
$$\begin{gathered} M=max\{|x_i-x_{best}|\} \\ \widetilde{x_i}=1-\frac{|x_i-x_{best}|}{M} \end{gathered}$$

PH值（转换前）	PH值（转换后）
6	0.5
7	1
8	0.5
9	0

x_best=7

M=max{|6-7|,|7-7|,|8-7|,|9-7|}=2

区间型指标 -> 极大型指标

区间型指标：指标值落在某个区间内最好，例如人的体温在36°～37°这个区间比较好。

{x_i}是一组区间型指标序列，且最佳的区间为[a,b]，那么正向化的公式如下
$$\begin{gathered} M=max\{a-min\{x_i\},max\{x_i\}-b\} \\ \widehat{x_i}=\{\begin{array}{rcl}1-\frac{a-x_i}{M}& & x_i<a\\ 1& & a⩽x_i⩽b\\ 1-\frac{x_i-b}{M}& & x_i>b\end{array} \end{gathered}$$

体温（转换前）	体温（转换后）
35.2	0.4286
35.8	0.8571
36.6	1
37.1	0.9286
37.8	0.4286
38.4	0

a=36 b=37

M=max{36-35.2 , 38.4-37} =1.4

第二步：正向化矩阵标准化

标准化的目的是消除不同指标量纲的影响。

假设有n个要评价的对象，m个评价指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下，

	x11	x12	...	x1m
X=  x21	x22 ... x2m
	... ... ... ...
	xn1	xn2	... xnm	

那么，对其标准化的矩阵即为Z，Z中的每一个元素
$$\begin{gathered} z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}^2}} \\ \frac{每一个元素}{\sqrt{其所在列的元素的平方和}} \end{gathered}$$
注意：标准化的方法有很多种，其主要目的就是去除量纲的影响，未来我们还可能见到更多种的标准化方法，例如：(x‐x的均值)/x的标准差；具体选用哪一种标准化的方法在多数情况下并没有很大的限制，这里我们采用的是前人的论文中用的比较多的一种标准化方法。

第三步：计算得分并归一化

假设有n个要评价的对象，m个评价指标的标准化矩阵

	z11	z12	...	z1m
Z=  z21	z22 ... z2m
	... ... ... ...
	zn1	zn2	... znm	

$$\frac{\mathbf{x}与最小值的距离}{\mathbf{x}与最大值的距离+\mathbf{x}与最小值的距离}$$

注意：要区别开归一化和标准化。归一化的计算步骤也可以消去量纲的影响，但更多时候，我们进行归一化的目的是为了让我们的结果更容易解释，或者说让我们对结果有一个更加清晰直观的印象。例如将得分归一化后可限制在0‐1这个区间，对于区间内的每一个得分，我们很容易的得到其所处的比例位置。

定义最大值
$$Z^{+}=(Z_1^{+},Z_2^{+},...,Z_m^{+})=(max\{z_{11},z_{21},...,z_{n1}\},max\{z_{12},z_{22},...,z_{n2}\},...,max\{z_{1m},z_{2m},...,z_{nm}\})$$
这里的Z⁺其实是一个向量，每一个列向量都是每一列中的最大值

定义最小值
$$Z^{-}=(Z_1^{-},Z_2^{-},...,Z_m^{-})=(min\{z_{11},z_{21},...,z_{n1}\},min\{z_{12},z_{22},...,z_{n2}\},...,min\{z_{1m},z_{2m},...,z_{nm}\})$$
定义第i(i=1,2,…,n)个评价对象与最大值的距离
$$D_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_j^{+}-Z_{ij}{)}^2}$$

定义第i(i=1,2,…,n)个评价对象与最小值的距离
$$D_i^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_j^{-}-Z_{ij}{)}^2}$$
那么，我们可以计算出第i(i=1,2,…,n)个评价对象未归一化的得分：
$$S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$$
很明显0<=S_i<=1，且S_i越大D_i⁺越小，即越接近最大值

我们可以将得分归一化。（得分归一化不影响排序）

注意：这里还没有考虑指标的权重，后面的内容会考虑指标的权重来进行计算。

代码详解

topsis.m

%topsis.m
%%  第一步：把数据复制到工作区，并将这个矩阵命名为X
% （1）在工作区右键，点击新建（Ctrl+N)，输入变量名称为X
% （2）在Excel中复制数据，再回到Excel中右键，点击粘贴Excel数据（Ctrl+Shift+V）
% （3）关掉这个窗口，点击X变量，右键另存为，保存为mat文件（下次就不用复制粘贴了，只需使用load命令即可加载数据）
% （4）注意，代码和数据要放在同一个目录下哦，且Matlab的当前文件夹也要是这个目录。
clear;clc
load data_water_quality.mat
%% 注意：如果提示: 错误使用 load，无法读取文件 'data_water_quality.mat'。没有此类文件或目录。
% 那么原因是因为你的Matlab的当前文件夹中不存在这个文件
% 可以使用cd函数修改Matlab的当前文件夹
% 比如说，我的代码和数据放在了: D:第2讲.TOPSIS法（优劣解距离法）\代码和例题数据
% 那么我就可以输入命令：
% cd 'D:第2讲.TOPSIS法（优劣解距离法）\代码和例题数据'
% 也可以看我更新的视频：“更新9_Topsis代码为什么运行失败_得分结果怎么可视化以及权重的确定如何更加准确”，里面有介绍

%%  第二步：判断是否需要正向化
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);

if Judge == 1
    Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
    disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
    Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); %[2,1,3]
    % 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
    for i = 1 : size(Position,2)  %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数
        X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
    % Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
    % 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))   回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素
    % 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
    % 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
    % 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
    end
    disp('正向化后的矩阵 X =  ')
    disp(X)
end

%% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)

%% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')

% A = magic(5)  % 幻方矩阵
% M = magic(n)返回由1到n^2的整数构成并且总行数和总列数相等的n×n矩阵。阶次n必须为大于或等于3的标量。
% sort(A)若A是向量不管是列还是行向量，默认都是对A进行升序排列。sort(A)是默认的升序，而sort(A,'descend')是降序排序。
% sort(A)若A是矩阵，默认对A的各列进行升序排列
% sort(A,dim)
% dim=1时等效sort(A)
% dim=2时表示对A中的各行元素升序排列
% A = [2,1,3,8]
% Matlab中给一维向量排序是使用sort函数：sort（A），排序是按升序进行的，其中A为待排序的向量；
% 若欲保留排列前的索引，则可用 [sA,index] = sort(A,'descend') ，排序后，sA是排序好的向量，index是向量sA中对A的索引。
% sA  =  8     3     2     1
% index =  4     3     1     2

% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭

Positiviation.m

%Positiviation.m
% function [输出变量] = 函数名称(输入变量）  
% 函数的中间部分都是函数体
% 函数的最后要用end结尾
% 输出变量和输入变量可以有多个，用逗号隔开
% function [a,b,c]=test(d,e,f)
%     a=d+e;
%     b=e+f;
%     c=f+d;
% end
% 自定义的函数要单独放在一个m文件中，不可以直接放在主函数里面（和其他大多数语言不同）

function [posit_x] = Positivization(x,type,i)
% 输入变量有三个：
% x：需要正向化处理的指标对应的原始列向量
% type： 指标的类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
% i: 正在处理的是原始矩阵中的哪一列
% 输出变量posit_x表示：正向化后的列向量
    if type == 1  %极小型
        disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] )
        posit_x = Min2Max(x);  %调用Min2Max函数来正向化
        disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    elseif type == 2  %中间型
        disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] )
        best = input('请输入最佳的那一个值： ');
        posit_x = Mid2Max(x,best);
        disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    elseif type == 3  %区间型
        disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] )
        a = input('请输入区间的下界： ');
        b = input('请输入区间的上界： '); 
        posit_x = Inter2Max(x,a,b);
        disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    else
        disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')
    end
end

% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭

% % 如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231（必看）

Inter2Max.m

%Inter2Max.m
function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b)
    r_x = size(x,1);  % row of x 
    M = max([a-min(x),max(x)-b]);
    posit_x = zeros(r_x,1);   %zeros函数用法: zeros(3)  zeros(3,1)  ones(3)
    % 初始化posit_x全为0  初始化的目的是节省处理时间
    for i = 1: r_x
        if x(i) < a
           posit_x(i) = 1-(a-x(i))/M;
        elseif x(i) > b
           posit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M;
        else
           posit_x(i) = 1;
        end
    end
end


% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
% % 如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231（必看）

Mid2Max.m

%Mid2Max.m
function [posit_x] = Mid2Max(x,best)
    M = max(abs(x-best));
    posit_x = 1 - abs(x-best) / M;
end

% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
% % 如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231（必看）

Min2Max.m

%Min2Max.m
function [posit_x] = Min2Max(x)
    posit_x = max(x) - x;
     %posit_x = 1 ./ x;    %如果x全部都大于0，也可以这样正向化
end


% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
% % 如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231（必看）

1. 将EXCEL中的数据导入到Matlab,并另存为mat文件，下次可直接loadMatlab中函数的编写和调用
2. magic(n)幻方矩阵
3. sort函数
4. zeros和ones函数

模型拓展

定义第i(i=1,2,…,n)个评价对象与最大值的距离
$$D_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_j^{+}-Z_{ij}{)}^2}$$

定义第i(i=1,2,…,n)个评价对象与最小值的距离
$$D_i^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_j^{-}-Z_{ij}{)}^2}$$

$$\begin{gathered} D_{小明}^{+}=\sqrt{(0.6048-0.5437{)}^2+(0.8018-0.2673{)}^2}=0.5380 \\ {D}_{小明}^{-}=\sqrt{(0.3665-0.5437{)}^2+(0-0.2673{)}^2}=0.3206 \\ {D}_{小王}^{+}=\sqrt{(0.6048-0.3665{)}^2+(0.8018-0.8018{)}^2}=0.2382 \\ {D}_{小王}^{-}=\sqrt{(0.3665-0.3665{)}^2+(0-0.8018{)}^2}=0.8018 \end{gathered}$$

指标的权重默认了相同

带权重的TOPSIS

注意：我们也可以先对标准化矩阵中的每个元素计算权重，然后直接用带权重的标准化矩阵来计算得分，这样得到的结果和下面在计算距离时引入权重得到的结果是几乎相同的。

定义第i(i=1,2,…,n)个评价对象与最大值的距离
$$D_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^m{\omega }_j(Z_j^{+}-Z_{ij}{)}^2}$$

定义第i(i=1,2,…,n)个评价对象与最小值的距离
$$D_i^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^m{\omega }_j(Z_j^{-}-Z_{ij}{)}^2}$$
别漏了这个权重！

可以使用层次分析法给这m个评价指标确定权重
$$\sum _{j=1}^m{\omega }_j=1$$
当然：层次分析法的主观性太强了，更推荐使用熵权法来进行客观赋值。

问题讲解

Topsis代码为什么运行失败

第一步：把数据复制到工作区，并将这个矩阵命名为X
（1）在工作区右键，点击新建（Ctrl+N)，输入变量名称为X
（2）在Excel中复制数据，再回到Excel中右键，点击粘贴Excel数据（Ctrl+Shift+V）
（3）关掉这个窗口，点击X变量，右键另存为，保存为mat文件（下次就不用复制粘贴了，只需使用load命令即可加载数据）
（4）注意，代码和数据要放在同一个目录下哦，且Matlab的当前文件夹也要是这个目录。

同时，运行代码的时候要切换到代码所在的文件夹下