数学建模—降维—因子分析

（清风数学建模笔记）

因子分析在某种程度上可以被看成是主成分分析的推广和扩展。可以用主成分分析的问题也可以用因子分析，因子分析的结果更方便分析。

因子分析法通过研究变量间的相关系数矩阵，把这些变量间的错综复杂关系归结成少数几个综合因子，由于归结出的因子个数少于原始变量的个数，但是他们又包含原始变量的信息，所以这一过程也称为降维。由于因子往往比主成分更易得到解释，故因子分析比主成分分析更容易成功，从而有更广泛的应用。

1.因子分析和主成分分析的对比

其他主要区别：

1.主成分分析只是简单的数值计算，不需要构建一个模型，几乎没有假定；

因子分析需要构建一个因子模型，并且伴随几个关键性的假定。

2.主成分分析的解都是唯一的，而因子分析有许多的解。

3.因子分析解释成功的可能性要远远大于主成分解释成功的可能性。 

2.因子分析的原理

3.因子分析的性质

4.因子载荷矩阵的统计意义

4.参数估计的七种方法

只用最常用的一种即可

 5.因子旋转的方法

得到因子模型后，其中的公共因子不一定能反映问题的实质特征，为了更好的解释每一个公共因子的实际意义其减少解释的主观性，可以通过因子旋转达到目的。

因子旋转分为：正交旋转与斜交旋转。

（不论使用正交旋转还是斜交旋转，应该使新的公共因子的载荷系数的绝对值尽可能接近0或1。）

 （使用最多的是 最大方差法）

6.因子得分

论文中最常用的是第三种方法（安德森-鲁宾因子得分法）

 7.因子分析的实例（重要应用）

（1） 操作步骤：

 

（2）描述指标的具体意义：

1.单变量描述：输出参与分析的每一个原始变量的均值、标准差和有效取值个数。

 2.初始解：输出为经过旋转直接计算得到的初始因子、初始特征值以及初始方差贡献率。

3.系数：输出初始分析变量间的相关系数矩阵。

4.显著性水平：输出每一个相关系数对于单侧假设检验的显著性水平。

5.决定因子：输出相关系数矩阵的行列式。

6.逆：输出相关系数的逆矩阵

7.再生：输出因子分析后的相关矩阵，还给出原始相关与再生相关之间的差值，即残差。

8.反映像：输出反应像的相关矩阵，包括偏相关系数的负数。

9.KMO检验和巴特利特球形检验：进行因子分析前要对数据进行KMO检验和巴特利特球形检验。

（3）结果分析

第一步：确定原始数据是否适合做结因子分析

 注意：用SPSS做因子分析时，在查看器中若得不到KMO检验和巴特利特检验结果，则说明你的样本量小于指标数，需要增加样本量或者减少指标个数再来进行因子分析。

第二步：确定因子数目

       从碎石图可以看出，前两个因子对应的特征值的变化较为陡峭，从第三个因子开始特征值的变化较为平坦，因此我们应该选择两个因子进行分析。 

（注意：第一次运行因子分析的结果一般作为参考，下面需要根据第一次运行结果来确定公共因子的个数）

第三步：调整因子个数重新计算

 这里选择的因子数就是刚刚我们通过碎石图得到的因子图

（注意：碎石图得到的因子数只起到参考作用；在因子分析应用于某些专业问题上时，可能实现我们已经知道了最后要确定的因子数，这是的碎石图的意义就不大了）

第四步：对因子分析结果的介绍

 总方差解释表

 成分矩阵

无法解释时可以改变提取方法以及旋转方法

旋转后的因子载荷散点图 

 因子得分

注意：因子分析模型不能用于综合评价，尽管有很多论文是这样写的，但这个存在很大的问题的。例如变量的类型、选择因子的方法、旋转对最终的影响都是很难说清。