什么是流形（manifold）、流形学习

流形（manifold）

流形是几何中的一个概念，它是高维空间中的几何结构，即空间中的点构成的集合。 可以简单的将流形理解成二维空间的曲线，三维空间的曲面在更高维空间的推广。下图是三维空间中的一个流形，这是一个卷曲面，像一个瑞士卷一样，这个图就表示观察到的数据是三维的，但其本质是一个二维流形，因为曲面是2维的。我们可以想象成输入的数据是三维的，但真正表征这个数据的核心特征就是一个二维的，其余的都是维度都是冗余的，所以这里的二维流形也就是表征这个数据的核心特征！所以深度学习的本质就是说某些高维数据，实际是一种低维的流形结构嵌入在高维空间中，这个低维流型结构就是我们提取得到的重要特征。 图上所标注的两个圈圈，在流形（把卷展开）上本距离非常远，但是用三维空间的欧氏距离来计算则它们的距离要近得多。：

2维空间中的曲线，3维空间中的曲线可以看做是2维和3维空间中的1维流形，因为曲线是1维的。 而3维空间中的曲面可以看做是2维的流形，因为曲面是2维的。n维空间中的m维流形就是具有m维几何形状的一个子集，在这里，m小于n。

流形学习（manifold learning）

是机器学习、模式识别中的一种方法，在维数约简方面具有广泛的应用。它的主要思想是将高维的数据映射到低维，使该低维的数据能够反映原高维数据的某些本质结构特征。流形学习的前提是有一种假设，即某些高维数据，实际是一种低维的流形结构嵌入在高维空间中。流形学习的目的是将其映射回低维空间中，揭示其本质。

更详细的可以参考下面的文章和其评论：
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