左右手坐标系和相关定则的总结

左手坐标系和右手坐标系是三维空间下两种不同的坐标系，而且无法通过旋转将左手坐标系转换到右手坐标系。与其相对应的，有左手定则和右手定则，主要是用来确定叉积的朝向或者说旋向。
首先，规定二维坐标，X轴朝右、Y轴朝上，推广到三维空间，需要确定的是Z轴是朝前还是朝后。

一、左手坐标系

所谓左手坐标系，指的是通过左手来确定的一个三维空间坐标系。

1.1 确定左手坐标系的方式

下面总结了三种可以确定左手坐标系的方法。

1.1.1 拇指、食指、中指相互垂直确定法

如图，伸出左手，拇指朝上代表Y轴、食指朝前代表Z轴、中指朝右代表X轴。注意，中指这个时候是只能往右边弯曲的。

1.1.2 左手定则确定法

伸出左手，手指朝着右边X轴，握向Y轴，这个时候拇指指向的方向就是Z轴（朝前）。

1.1.3 人站立的正面朝向确定法

人朝前站立着，右手伸出的朝向是X轴，头顶的方向是Y轴，面向Z轴。

1.2 左手定则

假设，叉乘计算，C=A叉乘B。如何确定在C的朝向了？如果A和B都在左手坐标系下，那么使用左手定则来确定C的朝向。
类似1.1.2，伸出左手，手指朝着A，握向B，这个时候拇指指向的方向就是C。

二、右手坐标系

2.1 确定右手坐标系的方式

2.1.1 拇指、食指、中指相互垂直确定法

参考1.1.1，伸出右手，拇指朝上代表Y轴、食指朝前代表Z轴、中指朝左代表X轴。注意，中指这个时候是只能往左边弯曲的。
但是，我们一般假定X轴朝右，因此需要握着Z轴旋转180度。这个时候，拇指朝上代表Y轴、食指朝后代表Z轴、中指朝右代表X轴。注意，左右手坐标系旋转后不会改变。

2.1.2 左手定则确定法

伸出右手，手指朝着右边X轴，握向Y轴，这个时候拇指指向的方向就是Z轴（朝后）。

2.1.3 人站立的正面朝向确定法

人朝前站立着，右手伸出的朝向是X轴，头顶的方向是Y轴，背后的是Z轴。

2.2 右手定则

类似1.1，如果A和B都在,右手坐标系下，那么使用右手定则来确定C的朝向。
类似1.1.2，伸出右手，手指朝着A，握向B，这个时候拇指指向的方向就是C。
因此，左手定则和右手定则的区别是使用左手还是右手。

三、图形API的左右手坐标系

图形管线中，存在多个坐标系，每个坐标系都可以使用左手或者右手坐标系。下面按照，物体坐标系->世界坐标系->摄像机坐标系->裁剪坐标系->窗口坐标系来说明。

3.1 OpenGL

OpenGL默认是右手坐标系。不过到了窗口坐标系，OpenGL使用的是左手坐标系。为什么了？因为OpenGL的深度范围是[0,1]，而且是摄像机越远，深度越大，这就是左手坐标系啦。
由于物体坐标系、世界坐标系、摄像机坐标系都是右手坐标系，但是窗口坐标系是左手坐标系，那么投影矩阵就需要乘以右手坐标系变换到左手坐标系这个变换，也就是Z变换成-Z。不过这个变换也可以放在摄像机坐标系，也就是MVP的V中。现在假定，都乘到P中了。
最终结论是：物体坐标系、世界坐标系、摄像机坐标系是右手坐标系；裁剪坐标系和窗口坐标系是左手坐标系，窗口坐标系实际上只是裁剪坐标系进行齐次除法后再平移缩放而已。

3.2 DirectX

DirectX默认是左手坐标系。
类似3.1，物体坐标系、世界坐标系、摄像机坐标系是左手坐标系。注意，DirectX的窗口坐标系是以左上角为原点的，深度是朝前的，那么跟OpenGL的反过来，是右手坐标系。
因此，裁剪坐标系和窗口坐标系是右手手坐标系。投影变化同样要乘以，右手坐标系变换到左手坐标系这个变换，也就是Z变换成-Z。

3.3 Vulkan

Vulkan的窗口坐标系和DirectX的一致，因此推测其余坐标系和DirectX的一致。

3.4 Metal

Vulkan的窗口坐标系和DirectX的一致，因此推测其余坐标系和DirectX的一致。

看来只有，历史遗留的奇葩OpenGL的窗口坐标系，原点在左下角啊。原点在哪，这个跟纹理的v坐标是否需要取反也有关系。

四、游戏引擎的左右手坐标系

游戏引擎中，物体和世界坐标系是固定的，对于所有的图形API都会一样。

4.1 Unity

根据上图，Unity的物体和世界坐标系可以推测都是左手系。

根据上图，出自Unity Shader入门精要，Unity的窗口坐标系和OpenGL的一致，是左手系。但是摄像机空间变换到了右手系。那么，在V中需要乘以Z到-Z的变换。同时，P中再乘以-Z到Z的变换变回左手系。
为啥多次一举了，怀疑这个结论的正确性。下面做实验，用IMGizmos绘制坐标轴。代码如下，

using UnityEngine;

namespace GYGame
{
    /// 

    /// 出生点
    /// 
    public class PlayerStart : MonoBehaviour
    {
        public float GizmosHeight { get; set; } = 2.0f;

        void OnDrawGizmos()
        {
            IMGizmos.Line3D(transform.position, transform.position + transform.up * GizmosHeight, Color.green);
            IMGizmos.Line3D(transform.position, transform.position + transform.right * GizmosHeight, Color.red);
            IMGizmos.Line3D(transform.position, transform.position + transform.forward * GizmosHeight, Color.blue);
        }
    }
}

选中场景相机，可以得到下面结果，

可以看到右下角的场景相机画面里面有显示PlayerStart的Gizmos，Gizmos显示的坐标系是左手系，跟右上角显示的坐标系是一致的。同时，引擎自带的Gizmos显示的摄像机前向也是Z轴正向。
因此，推测我实验的Unity版本是2020，与UnityShader入门精要使用的Unity5.X版本，摄像机空间的旋向性已经发生了变化。

4.2 UnrealEngine

虚幻和Unity一样也是采用左手坐标系，不过其是Z轴朝上，Y轴朝外。沿着X轴旋转90度，可以得到Z轴朝内，Y轴朝上，那么和Unity的是一致的。
推测，其余的空间的坐标系旋向和Unity的是一致。摄像机空间的旋向也可以用类似4.1的方式绘制Gizmos，然后选中摄像机，查看摄像机的绘制结果。

五、参考资料

Shader入门精要
图形坐标系的跨平台适配