数字信号处理实验 序列的傅里叶变换和离散傅里叶变换及其关系

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实验一 序列的傅里叶变换和离散傅里叶变换及其关系
一、[实验目的]
1.掌握序列傅里叶变换 DTFT 的计算机实现方法；
2.掌握序列 DFT 基本理论及其计算机实现方法；
3.掌握序列傅里叶变换 DTFT 和序列 DFT 的关系；
4 .理 解 X k   DFT xn中k 值与 xn的实际角频率 之间的对应关系。
二、[实验原理]
1.有限长序列 xn的离散时间傅立叶变换对（DTFT）

2. 有限长序列的离散傅里叶变换对 DFT
   

3.序列 DTFT 和 DFT 之间的关系
X(k)可看作是对序列 xn的傅氏变换 X e j 在0 ~ 2 区间上的N 点采样，采样间隔为2π/N。
三、[实验内容]
1.
DTFT函数如下：
function [Xejw]=dtft(xn,w)
N=length(xn);
Xejw=0; %赋初始值为零
for n=0:N-1;
Xejw=Xejw+xn(n+1).(exp(-jwn)); %累加
end
2.
DFT函数如下：
function [Xk]=dft(xn, N)
a=length(xn);
xn=[xn,zeros(1,N-a)]; %补零到N点，N点DFT
n=[0:1:N-1];
k=n;
WN=exp(-j2*pi/N);
nk=n’k; %矩阵相乘
WNnk=WN.^nk;
Xk=xnWNnk;
3.
幅频特性图如下：

代码如下：

clc,clear,close all
xn=[1 1 1 1];
N=length(xn);
w=0:0.01:6*pi;
n=0:N-1;
Xejw=dtft(xn,w);
subplot(1,2,1);
stem(n,xn);
title(‘x(n)’)
xlabel(‘n’)
ylabel(‘x(n)’)
subplot(1,2,2)
plot(w/pi,abs(Xejw));
title(‘Xejw的幅频特性’)
xlabel(‘w/pi’)
ylabel(’|Xejw|’)

有限长序列的频谱有何特性？
有限长离散序列的频谱是连续周期的；有限长连续序列的频谱是连续非周期的。
4.（1）
幅度谱的比较图如下：

代码如下：

clc,clear,close all
b=zeros(1,28);
xn=[1 1 1 1];
N=length(xn);
xn1=[xn,b];
N1=length(xn1)
w=0:0.01:2*pi;
n=0:N-1;
n1=0:N1-1;
Xejw=dtft(xn,w);
Xejw1=dtft(xn1,w);
subplot(2,2,1);
stem(n,xn);
title(‘x(n)’)
xlabel(‘n’)
ylabel(‘x(n)’)
subplot(2,2,2)
plot(w/pi,abs(Xejw));
title(‘Xejw的幅频特性’)
xlabel(‘w/pi’)
ylabel(’|Xejw|’)
subplot(2,2,3);
stem(n1,xn1);
title(‘x1(n)’)
xlabel(‘n’)
ylabel(‘x1(n)’)
subplot(2,2,4)
plot(w/pi,abs(Xejw1));
title(‘X1ejw的幅频特性’)
xlabel(‘w/pi’)
ylabel(’|X1ejw|’)

原序列及其补零后序列的 DTFT 是否相同？
原序列及其补零后序列的 DTFT 是相同的，因为DTFT的计算仅与信号的有限长度有关。
（2）
对比图如下：

代码如下：

clc,clear,close all
xn=[1 1 1 1];
N=length(xn);
w=0:0.01:2pi;
n=0:N-1;
N4=4;
k4=0:N4-1;
N32=32;
k32=0:N32-1;
Xejw=dtft(xn,w);
Xk4=dft(xn,N4);
Xk32=dft(xn,N32);
subplot(3,1,1)
plot(w/pi,abs(Xejw));
title(‘Xejw的幅频特性’)
xlabel(‘w/pi’)
ylabel(’|Xejw|’)
subplot(3,1,2)
stem(2k4/N4,abs(Xk4))%单位归一
title(‘xn的4点DFT’)
xlabel('2k/N’)
ylabel(‘X4(k)’)
axis([0 2 0 4])
subplot(3,1,3)
stem(2k32/N32,abs(Xk32))
title(‘xn的32点DFT’)
xlabel(‘2*k/N’)
ylabel(‘X32(k)’)

序列补零的方法能否减少栅栏效应？能否提高频率分辨率？
补零的方法可以减少栅栏效应，但是不能提高分辨率，因为采样频率和信号的有效长度没有改变。
四、[思考题]
1． xn的 N 点 DFT X k 中，序号k 代表的实际角频率k 是多少？
实际角频率ωk=（2π/N）k。