常见的傅里叶变换对
1. 常见的傅里叶变换对
- 1. 常见的傅里叶变换对
- 1.1. 矩形脉冲相关
- 1.2. 阶跃信号相关
- 1.3. 冲激信号相关
- 1.4. 直流信号
- 1.5. 指数信号
- 1.6. 符号函数相关
1.1. 矩形脉冲相关
矩形脉冲信号
G τ ( t ) ↔ τ S a ( τ 2 w ) G_\tau(t) \leftrightarrow \tau \mathrm{Sa} (\frac{\tau}{2} w) Gτ(t)↔τSa(2τw)
采样信号
S a ( w c t ) ↔ π w c G 2 w c ( w ) \mathrm{Sa}(w_c t) \leftrightarrow \frac{\pi}{w_c} G_{2w_c}(w) Sa(wct)↔wcπG2wc(w)
三角脉冲信号
∧ 2 τ ( t ) ↔ τ S a 2 ( τ w 2 ) \land_{2\tau}(t) \leftrightarrow \tau Sa^2(\frac{\tau w}{2}) ∧2τ(t)↔τSa2(2τw)
【注意】
- G τ ( t ) G_{\tau}(t) Gτ(t) 和 ∧ 2 τ ( t ) \land_{2\tau}(t) ∧2τ(t) 的下标表示的非0区间的长度；
- 三角脉冲信号与矩形脉冲信号的关系： ∧ 2 τ ( t ) = 1 τ G τ ( t ) ∗ G τ ( t ) \land_{2\tau}(t) = \frac{1}{\tau} G_{\tau}(t) * G_{\tau}(t) ∧2τ(t)=τ1Gτ(t)∗Gτ(t)
- 通过傅氏变换的 对称性 和 时域卷积定理 可以证明以上式子。
1.2. 阶跃信号相关
单位阶跃信号
u ( t ) ↔ 1 j w + π δ ( w ) u(t) \leftrightarrow \frac{1}{jw} + \pi \delta(w) u(t)↔jw1+πδ(w)
单位斜坡信号
t u ( t ) ↔ j d d w ( 1 j w + π δ ( w ) ) = − 1 w 2 + j π δ ′ ( w ) tu(t) \leftrightarrow j\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w} \left(\frac{1}{jw} + \pi \delta(w)\right) = -\frac{1}{w^2} + j\pi \delta'(w) tu(t)↔jdwd(jw1+πδ(w))=−w21+jπδ′(w)
【注意】
- 阶跃信号不满足绝对可积的条件，但是引入冲激函数后仍具有傅氏变换；
- u ( t ) u(t) u(t) 是一个积分器，即 ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ = f ( t ) ∗ u ( t ) \int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau = f(t) * u(t) ∫−∞tf(τ)dτ=f(t)∗u(t)；
1.3. 冲激信号相关
单位冲激信号
δ ( t ) ↔ 1 δ ( t − t 0 ) ↔ e − j w t 0 \delta(t) \leftrightarrow 1\\ \delta(t-t_0) \leftrightarrow e^{-jwt_0}\\ δ(t)↔1δ(t−t0)↔e−jwt0
冲激信号的 k k k 阶导数
δ ( k ) ( n ) ↔ ( j w ) k \delta^{(k)}(n) \leftrightarrow (jw)^k δ(k)(n)↔(jw)k
当某个信号的傅氏变换存在 常数 或者 正幂次项 （可以带个相位），则表示该信号包含冲激或冲激导数的形式。
1.4. 直流信号
1 ↔ 2 π δ ( w ) t n ↔ 2 π j n δ ( n ) ( w ) 1 \leftrightarrow 2\pi \delta(w)\\ t^n \leftrightarrow 2 \pi j^n \delta^{(n)}(w) 1↔2πδ(w)tn↔2πjnδ(n)(w)
当某个信号的傅氏变换包含 冲激 或其 冲激导数形式，表示给信号可能存在直流分量或者正幂次项。
1.5. 指数信号
（0 < a < 1）
单边指数信号
因果型： e − a t u ( t ) ↔ 1 a + j w e^{-at} u(t) \leftrightarrow \frac{1}{a+jw} e−atu(t)↔a+jw1
非因果型： e a t u ( − t ) ↔ 1 a − j w e^{at}u(-t) \leftrightarrow \frac{1}{a-jw} eatu(−t)↔a−jw1
双边指数信号
偶对称型：
e − a ∣ t ∣ = e − a t u ( t ) + e a t u ( − t ) ↔ 2 a a 2 + w 2 \begin{aligned} e^{-a|t|} &= e^{-at}u(t) + e^{at}u(-t)\\ &\leftrightarrow \frac{2a}{a^2 + w^2} \end{aligned} e−a∣t∣=e−atu(t)+eatu(−t)↔a2+w22a
奇对称型：
e − a t u ( t ) − e a t u ( − t ) ↔ − 2 j w a 2 + w 2 \begin{aligned} e^{-at}u(t) - e^{at}u(-t) \leftrightarrow \frac{-2jw}{a^2 + w^2} \end{aligned} e−atu(t)−eatu(−t)↔a2+w2−2jw
指数调频信号
e − a t sin ( w 0 t ) u ( t ) ↔ w 0 ( a + j w ) 2 + w 0 2 e − a t cos ( w 0 t ) u ( t ) ↔ a + j w ( a + j w ) 2 + w 0 2 e^{-at}\sin(w_0 t)u(t) \leftrightarrow \frac{w_0}{(a + jw)^2 + w_0^2}\\ e^{-at}\cos(w_0 t)u(t) \leftrightarrow \frac{a + jw}{(a + jw)^2 + w_0^2} e−atsin(w0t)u(t)↔(a+jw)2+w02w0e−atcos(w0t)u(t)↔(a+jw)2+w02a+jw
频域微分特性
t n − 1 ( n − 1 ) ! e − a t u ( t ) ↔ 1 ( a + j w ) n \frac{t^{n-1}}{(n - 1)!}e^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{(a + jw)^n} (n−1)!tn−1e−atu(t)↔(a+jw)n1
谐振信号
虚指数信号
e j w 0 t ↔ 2 π δ ( w − w 0 ) e − j w 0 t ↔ 2 π δ ( w + w 0 ) \begin{aligned} e^{jw_0t} &\leftrightarrow 2\pi \delta(w - w_0)\\ e^{-jw_0 t} &\leftrightarrow 2\pi \delta(w + w_0) \end{aligned} ejw0te−jw0t↔2πδ(w−w0)↔2πδ(w+w0)
三角信号
c o s ( w 0 t ) = 1 2 ( e j w 0 t + e − j w 0 t ) ↔ π [ δ ( w − w 0 ) + δ ( w + w 0 ) ] s i n ( w 0 t ) = 1 2 j ( e j w 0 t − e − j w 0 t ) ↔ π j [ δ ( j w − j w 0 ) − δ ( j w + j w 0 ) ] \begin{aligned} cos(w_0 t) &= \frac{1}{2}(e^{jw_0 t} + e^{-jw_0 t})\\ &\leftrightarrow \pi [\delta(w - w_0) + \delta(w + w_0)]\\ sin(w_0 t) &= \frac{1}{2j} (e^{jw_0t} - e^{-jw_0t})\\ &\leftrightarrow \frac{\pi}{j}[\delta(jw - jw_0) - \delta(jw + jw_0)] \end{aligned} cos(w0t)sin(w0t)=21(ejw0t+e−jw0t)↔π[δ(w−w0)+δ(w+w0)]=2j1(ejw0t−e−jw0t)↔jπ[δ(jw−jw0)−δ(jw+jw0)]
调频信号
f ( t ) c o s ( w 0 t ) ↔ 1 2 [ F ( j w − j w 0 ) + F ( j w + j w 0 ) ] f ( t ) s i n ( w 0 t ) ↔ 1 2 j [ F ( j w − j w 0 ) − F ( j w + j w 0 ) ] \begin{aligned} f(t)cos(w_0 t) &\leftrightarrow \frac{1}{2}[F(jw - jw_0) + F(jw + jw_0)]\\ f(t)sin(w_0 t) &\leftrightarrow \frac{1}{2j}[F(jw - jw_0) - F(jw + jw_0)] \end{aligned} f(t)cos(w0t)f(t)sin(w0t)↔21[F(jw−jw0)+F(jw+jw0)]↔2j1[F(jw−jw0)−F(jw+jw0)]
1.6. 符号函数相关
s g n ( t ) ↔ 2 j w \mathrm{sgn}(t) \leftrightarrow \frac{2}{jw} sgn(t)↔jw2
对称性
1 t ↔ − j π s g n ( w ) \frac{1}{t} \leftrightarrow -j\pi \mathrm{sgn}(w) t1↔−jπsgn(w)
利用对称性推导： f ( t ) ↔ F ( j w ) F ( j t ) ↔ 2 π f ( − w ) 2 j t ↔ 2 π s g n ( − w ) = − 2 π s g n ( w ) 1 t ↔ − j π s g n ( w ) \begin{split} f(t) &\leftrightarrow F(jw)\\ F(jt) &\leftrightarrow 2\pi f(-w)\\ \frac{2}{jt} &\leftrightarrow 2\pi \mathrm{sgn}(-w)=-2\pi \mathrm{sgn} (w)\\ \frac{1}{t} &\leftrightarrow -j\pi \mathrm{sgn} (w) \end{split} f(t)F(jt)jt2t1↔F(jw)↔2πf(−w)↔2πsgn(−w)=−2πsgn(w)↔−jπsgn(w) 希尔伯特变换会用到这个变换对。
时域微分特性
1 t 2 ↔ π w s g n ( w ) = π ∣ w ∣ \frac{1}{t^2} \leftrightarrow \pi w \mathrm{ sgn }(w) = \pi |w| t21↔πwsgn(w)=π∣w∣