数学建模之数据插值快速入门案例分析

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———— （英国）培根

数据插值的实现方法

在 MATLAB中,一维插值函数为 interp1()，其调用格式为

Y1=interp1(X, Y, X1, method)
该语句将根据X、Y的值,计算函数在X1处的值。其中,Ⅹ、Y是两个等长
的已知向量，分别表示采样点和采样值。X1是一个向量或标量，表示要
插值的点。

method参数用于指定插值方法,常用的取值有以下四种

(1) linear：线性插值,默认方法。将与插值点靠近的两个数据点用直线连
接，然后在直线上选取对应插值点的数据。

(2) nearest：最近点插值。选择最近样本点的值作为插值数据。

(3) pchip：分段3次埃尔米特插值。采用分段三次多项式,除满足插值条
件,还需满足在若干节点处相邻段插值函数的一阶导数相等，使得曲线光
滑的同时，还具有保形性。

(4) spline：3次样条插值。每个分段内构造一个三次多项式，使其插值
函数除满足插值条件外，还要求在各节点处具有连续的一阶和二阶导数

四种方法的比较
线性插值和最近点插值方法比较简单。其中线性插值方法的计算量与样本点
n无关。n越大,误差越小。

3次埃尔米特插值和3次样条插值都能保证曲线的光滑性。相比较而言，3次
埃尔米特插值具有保形性；而3次样条插值要求其二阶导数也连续，所以插
值函数的性态更好。

%引例 零件加工问题 
x= [0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];
x1=0:0.1:15;
y1=interp1(x,y,x1,'spline');
subplot(2,2,1)
plot(x1,y1)
xlabel('x1')
ylabel('y1')
title('spline3次样条插值')
y1=interp1(x,y,x1,'linear');
subplot(2,2,2)
plot(x1,y1)
xlabel('x1')
ylabel('y1')
title('linear线性插值')
y1=interp1(x,y,x1,'nearest');
subplot(2,2,3)
plot(x1,y1)
xlabel('x1')
ylabel('y1')
title('nearest最近点插值')
y1=interp1(x,y,x1,'pchip');
subplot(2,2,4)
plot(x1,y1) 
xlabel('x1')
ylabel('y1')
title('pchip分段3次埃尔米特插值')

MATLAB中的二维插值函数为interp2()，其调用格式为：Z1=interp2(X, Y, Z, X1, Y1, method)
其中,Ⅹ、Y是两个向量,表示两个参数的采样点，Z是采样点对应的函数值。X1、Y1是两个标量或向量,表示要插值的点。

x=20:10:90;
y=(0:5:20)';
z=[8.9,10.32,11.3,12.5,13.9,15.3,17.8,21.3;8.7,10.8,11,12.1,13.2,14.8,16.55,20.8;8.3,9.65,10.88,12,13.2,14.6,16.4,20.5;8.1,9.4,10.7,11.9,13.1,14.5,16.2,20.3;8.1,9.2,10.8,12,13.2,14.8,16.9,20.9];
xi=20:90;
yi=(0:20)';
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline');
surf(xi,yi,zi)

案例分析

机动车刹车距离问题

在车辆行驶中，从驾驶员看到障碍物开始，到作出判断而采取制动措施停车所需的最短距离叫停车视距。停车视距由三部分组成：一是驾驶员反应时间内行驶的距离(即反应距离)；二是开始制动到车辆完全停止所行驶的距离(即制动距离)；三是车辆停止时与障碍物应该保持的安全距离。其中，制动距离主要与行驶速度和路面类型有关。根据测试,某型车辆在潮湿天气于沥青路面行驶时，其行车速度(单位:km/h)与制动距离(单位:m)的关系如下表所示。

速度	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150
制动距离	3.15	7.08	12.59	19.68	28.34	38.57	50.4	63.75	78.71	95.22	113.29	132.93	154.12	176.87

假设驾驶员的反应时间为10s，安全距离为10m。请问
①根据某驾驶员的实际视力和视觉习惯，其驾驶时的有效视距为120m，则其在该路面行
车时，时速最高不能超过多少(结果取整)?
②若以表中数据为参考，设计一条最高时速为125km/h的高速公路，则设计人员应该保证驾驶者在公路上任一点的可视距离为多少米？

设速度为v,停车视距为d，反应距离为$d_1$​，制动距离为$d_2$​，安全距离为$d_3$​，反应时间为$a_s$​，
则
$d=d_1+d_2+d_3$​
其中，$d_1=a_{s}v$​，$d_2$​为v的函数，$d_3$​已知。

第一问：根据某驾驶员的实际视力和视觉习惯，其驾驶时的有效视距为120m,则其在该路面
行车时,时速最高不能超过多少(结果取整)?

已知反应时间为10s，安全距离为10m，可采用解方程方法

​ $10v+d_2+10=120$

存在的问题是，$d_2$​​​​​​为v的函数,但是函数关系未知，方程不可解。

下面考虑数据插值方法,以表格中的数据为样本，进行数据插值，计算出与120m的停车视距
所对应的速度指标。

编程思路:
第一步：建立速度和停车视距向量。
第二步：以1为单位，对采样区间内所有速度进行插值，计算出相应的停车视距。
第三步：求出停车视距120所对应的速度。
第四步：绘图展示。

如何根据停车视距120找到对应的速度?
第一步:令代表停车视距的向量di减去120,
再取绝对值,得到一个新的向量x。
第二步:将x按升序排列,并记录最小元素的
序号,该序号即为停车视距120所对应的速度
数据在向量的序号。
第三步:根据序号取得速度数据。

%机动车刹车距离问题
v=20:10:150;
vs=v.*(1000/3600);  %单位转换为米每秒
d1=10.*vs;
d2=[3.15,7.08,12.59,19.68,28.34,38.57,50.4,63.75,78.71,95.22,113.29,132.93,154.12,176.87];
d3=10;
d=d1+d2+d3;
vi=20:1:150;
di=interp1(v,d,vi,'spline');
x=abs(di-120);
[y,i]=sort(x);
vi(i(1))
plot(vi,di,vi(i(1)),di(i(1)),'rp')

停车视距的增长随着车速增加呈非线性增长。(比线性增长还要快)
速度越快,要求视线越远。

②若以表中数据为参考，设计一条最高时速为125km/h的高速公路，则设计人员应该保证驾驶者在公路上任一点的可视距离为多少米？

j=find(vi==125); %找出125在速度向量中vi的位置
di(j)  %根据这个位置，在di中找到对应的元素 
plot(vi,di,125,480.14,'rp') %也可以调用interp1(v,d,125,'spline')再次插值

沙盘制作问题
某地面部队分成红蓝两方在指定的陌生区域(平面区域[0,2000*[0,2000]内，单位:m)
进行作战演习。在演习过程中，红方侦查单位已经测得一些地点的高程如下表所示。

①根据表中数据，制作军事沙盘。
②在演习范围内，占领最大高地的一方将获得居高临下的优势。请问红方应第一时间抢
占哪块区域。

编程思路:
第一问:用二维插值估算数据,以方便制作军事沙盘
第二问:在插值的基础上,绘制等高线图,找到最大高地

%沙盘制作问题
x=0:200:1800;
y=x';
z=[2000,2000,2001,1992,1954,1938,1972,1995,1999,1999;2000,2002,2006,1908,1533,1381,1728,1959,1998,2000;
   2000,2005,2043,1921,977,897,1310,1930,2003,2000;1997,1978,2009,2463,2374,1445,1931,2209,2050,2003;
   1992,1892,1566,1971,2768,2111,2653,2610,2121,2007;1991,1875,1511,1556,2221,1986,2660,2601,2119,2007;
   1996,1950,1797,2057,2849,2798,2608,2303,2052,2003;1999,1999,2079,2685,3390,3384,2781,2165,2016,2000;
   2000,2002,2043,2271,2668,2668,2277,2049,2003,2000;2000,2000,2004,2027,2067,2067,2027,2004,2000,2000];
surf(x,y,z);
title('沙盘地貌图')

比较粗糙，为了得到更多数据，进行数据插值，并画出等高线图

x1=0:50:1800;
y1=x1';
z1=interp2(x,y,z,x1,y1,'spline');
surf(x1,y1,z1);
contour(x1,y1,z1,12)