腾讯面试题:50个阶梯,你一次可以上一阶或两阶,走上去,共有多少种走法【原】

有个同学去了腾讯,他说面试时有这么一道思维题:50个阶梯,你一次可以上一阶或两阶,走上去,共有多少种走法?

我的思路: 

我的思维比较直线简单:

1,求出走上去可能有的方式,这里的方式是指:共走多少个1步,多少个2步。比如说,你走了2个1步,其余走2步,要走24个2步,用对象存起来就是:{one:2,two:24}

2,每个方式的走法是可以通过排列组合公式算出来的。如下是排列组合公式:

     排列组合公式

 3,用到的公式是c(n,r)=n!/r!(n-r)!;这个比较好实现,无非就是阶乘除阶乘。

代码如下:

        ( function () {
            
var  waysArr  =  [];  // 上台阶方式的,每一种方式为一个对象字面量,如[{one:2,two:24},{one:4,two:23}]
             var  counts  =  [];  // 存每种方式排列组合数
             // 生成waysArr
             for  ( var  i  =   25 ; i  >=   0 ; i -- ) {
                
var  x  =   50   -   2   *  i;
                waysArr.push({ one: x, two: i });
            }
            
// 阶乘
             function  factorial(num) {
                
if  (num  <=   1 ) {
                    
return   1 ;
                }
                
else  {
                    
return  num  *  arguments.callee(num  -   1 );
                }
            }

            
// 每种方式的排列数
             // 参数是走1步的次数,走2步的次数
             function  thisWayTimes(one, two) {
                
// 排列组合公式: n!/r!(n-r)!
                 // 穷举--求得被除数
                 var  ExhaustiveTimes  =  factorial(one  +  two);
                
// 重复的次数---求得除数
                 var  repeatedTimes  =  factorial(one)  *  factorial(two);
                
// 算出次数---相除
                 var  thisWayTime  =  ExhaustiveTimes  /  repeatedTimes;
                
// 存进数组
                counts.push(thisWayTime);
            }

            
// 计算每种方式的,除去全1全2,存入数组
             for  ( var  j  =   0 , waysLen  =  waysArr.length; j  <  waysLen; j ++ ) {
                
if  (waysArr[j].one  !=   0   &&  waysArr[j].one  !=   50 ) {
                    thisWayTimes(waysArr[j].one, waysArr[j].two);
                }
            }

            
// 求和函数
             function  arrayNumSum(len) {
                
if  (len  <=   0 ) {
                    
return   0 ;
                } 
else  {
                    
return  counts[len]  +  arguments.callee(len  -   1 );
                }
            }

            
// 求和,包括全1全2
            countsSum  =  arrayNumSum(counts.length  -   1 +   2 // 计算出来共是20,365,010,749次
            alert(countsSum);
        })();

 后来正解出来,我的答案是不对,又不全错,因为排列组合公式做了除法运算,js算出来的结果不精确。

(这就是没有找到真正数学规律的方案,费力不讨好)

 

 peter.liu的思路:

 以一个台阶为迈步的单位, 每次迈步都只有三种可能: 
1.一次走完了一个台阶, 这种情况用 ‘O’表示.  (One的首字母)
2.一次走两个台阶, 但是只走到前一半, 脚还在空中悬着, 没放下. 这种情况用’T1’表示. (Two的首字母)
3.一次走两个台阶, 这次走的是后一半, 也就是脚从空中放下的过程. 这种情况用’T2’表示.
假设这个人开始走
1.走第一个台阶他有两个选择: ‘O’, 和 ‘T1’
2.走第二个台阶他的选择取决于第一个台阶怎么走的:
   a.前一个台阶如果是’O’和’T2’, 这个台阶就有两个选择: ’O’和’T1’
   b.前一个台阶如果是’T1’, 那么这个台阶就只能是’T2’.  (悬着的脚总要放下来才行啊)
3.走第三个台阶的方式, 取决于第二个台阶是怎么走的
4.走第n个台阶的方式, 取决于第n-1个台阶只怎么走的.
可以把他的每一步想象成一棵多叉树的节点, 下一步有多种走法, 那么节点就分叉. 这棵树一直到50层, 第50层有多少个叶节点, 就一共有多少种走法. 每一种走法, 都代表了从根节点到某一叶节点的那条路径.
当然, 有一个问题, 最后一层的节点类型是不能为’T1’的, 否则悬着的脚就放不下来了.

代码如下: 

( function (){

function  steps(n){
    
if  (n  ===   1 )
        
return  [ ' O ' ' T1 ' ];  // 第一步两种可能
    lastSteps  =  steps(n - 1 );
    
var  currentSteps  =  [];
    
for ( var  i  =   0 ; i <  lastSteps.length; i ++ ){
        
var  lastStep  =  lastSteps[i];
        
if (lastStep  ===   ' O '   ||  lastStep  ===   ' T2 ' )
            currentSteps.push(
' O ' ' T1 ' );
        
else   if (lastStep  ===   ' T1 ' )                                              
            currentSteps.push(
' T2 ' );        
    }
    
return  currentSteps;
}

var  result  =  steps( 20 );
result 
=  result.filter( function (item, index){ return  item  !==   ' T1 ' });  // 最后一步不能是'T1', 过滤掉
console.log(result.length);

})();

 

最终发现, 到30层的时候, 结果已经是100多万了, 并且以指数级增长. 运算第50层的时候会卡死, 因为可能性太多运算量太大了. 

(这种思路很好,很巧妙,可惜就是运算量太大)

 

 费波拉希数列:

 peter的方法虽然不能求得50层的次数,但是可以求得前30多层。依次如下:

一共1个台阶的话有1种走法.

一共2个台阶的话有2种走法.

一共3个台阶的话有3种走法.

一共4个台阶的话有5种走法.

一共5个台阶的话有8种走法.

一共6个台阶的话有13种走法.

一共7个台阶的话有21种走法.

一共8个台阶的话有34种走法.

一共9个台阶的话有55种走法.

一共10个台阶的话有89种走法.

一共11个台阶的话有144种走法.

一共12个台阶的话有233种走法.

一共13个台阶的话有377种走法.

一共14个台阶的话有610种走法.

一共15个台阶的话有987种走法.

一共16个台阶的话有1597种走法.

一共17个台阶的话有2584种走法.

一共18个台阶的话有4181种走法.

一共19个台阶的话有6765种走法.

一共20个台阶的话有10946种走法.

一共21个台阶的话有17711种走法.

一共22个台阶的话有28657种走法.

一共23个台阶的话有46368种走法.

一共24个台阶的话有75025种走法.

一共25个台阶的话有121393种走法.

一共26个台阶的话有196418种走法.

一共27个台阶的话有317811种走法.

一共28个台阶的话有514229种走法.

一共29个台阶的话有832040种走法.

一共30个台阶的话有1346269种走法.

一共31个台阶的话有2178309种走法.

一共32个台阶的话有3524578种走法.

一共33个台阶的话有5702887种走法.

一共34个台阶的话有9227465种走法.

一共35个台阶的话有14930352种走法.

......

这不正是个费波拉希数列!!!!

 知道这个数学规律就好办了。代码如下:


        
function  fib(n) {
            
return   function (n, a, b) {
                
return  n  >   0   ?  arguments.callee(n  -   1 , b, a  +  b) : a;
            } (n, 
0 1 );
        }
        fib(
0 );  // 0
        fib( 1 );  // 1
        fib( 2 );  // 1
        fib( 3 );  // 2
        fib( 4 );  // 3
         // ......
        fib( 50 );  // 12586269025
        fib( 51 );  // 20365011074,这里是上到第50个阶梯

 

 我想大家会有很多其它解法,欢迎留言讨论。

 本文系原创,转载请声明出处(http://www.cnblogs.com/flowerszhong/

 

 

你可能感兴趣的:(面试题)