偏微分方程重要的前置知识

• 现在觉得很dog  开学期末考试正好美赛。无法评论，无法评论。乐淘淘，乐淘淘。
• 期末考试不要延迟，求求了或者不安排在下学期第一周也可以。。。。
• 反正求求了，美赛机会难得
• 当然，如果是偏微分方程的问题的话，其实也用不了特别多的时间

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矩阵论

重要概念

• 置换矩阵
  • 矩阵元素仅为0或者1，每行每列仅有一个非零元素
• 非奇异矩阵

矩阵行列式不为0

• 正交矩阵

• 对角矩阵

• 对角占优

• 严格对角占优势

• Hermite 矩阵

• 酉矩阵

• 正规矩阵

• 不可约

不存在置换变化使简化为

• 酉相似

重要性质和定理

Jordan

• A的 Jordan 块

其中$\lambda_i$是A的特征值

A 的 Jordan 标准形是由 Jordan 块构成的分块对角矩阵，它是唯一的块排列方式

任何矩阵A 都可以通过相似变化简化成 Jordan 标准形J。

J的对角元是A的特征值

1. 若A有n个相异的特征值，他的Jordan标准形是对角形式，且它的n个特征向量线性无关，他们形成一个完备的特征向量系并张成n维空间
2. 若A没有n个相异的特征值，可以有或没有n个无关的特征向量
3. 若任何两个矩阵A,B可交换(AB=BA)，并有对角 Jordan 形式，则它们有一个完全的联合特征向量。

三对角矩阵特征值

A的右特征值：

A的右特征向量：

证明略

圆盘定理 (Gerschgorin)

矩阵的特征值位于复平面上n个圆盘的并集中：

谱半径

矩阵的特征值为：

Taussky 定理

矩阵是严格对角占优矩阵，则A非奇异

Brauer 定理

 矩阵的所有特征值位于个 Cassini 卵形的并集

|z-a_{ii}| \cdot |z-a_{jj}| \leq R_i R_j

R_i = \sum_{j=1,j\neq i}^n|a_{i,j}|

SC性质

Better 定理

Schur 定理

• 谱：矩阵特征多项式根的集合

若矩阵，则存在一个酉阵使得

其中

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向量和矩阵的范数 

向量范数

矩阵范数

列和范数

谱范数

行和范数

矩阵范数与谱半径的关系

矩阵范数的估计

矩阵序列的收敛性

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实系数多项式的根

Newton-Cotes 型数值积分公式

Green 公式