与图相关的一些矩阵
目录
- 前言
- 正文
-
- 邻接矩阵(Adjacency matrix)
- 度矩阵(Degree matrix)
- 关联矩阵(Incidence matrix)
- 拉普拉斯矩阵
-
- 常规拉普拉斯矩阵
- 拉普拉斯矩阵标准化
前言
以无向图为例，介绍与图相关的各种矩阵。我们定义下面的图为 G G G：
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
G = nx.Graph()
G.add_edges_from([(1,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (4,5)])
plt.figure(figsize=(5,5))
nx.draw(G, with_labels=True, font_weight='bold',
node_size =1000, node_color='cyan', width=2)
正文
邻接矩阵(Adjacency matrix)
表示顶点之间相邻关系的矩阵，相邻节点在其相应坐标上的值为1。如下所示：
A = [ 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 ] A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡0100010111010100110101010⎦⎥⎥⎥⎥⎤
在networkx中的API如下：
A = nx.adjacency_matrix(G).toarray()
print(A)
"""
[[0 1 0 0 0]
[1 0 1 1 1]
[0 1 0 1 0]
[0 1 1 0 1]
[0 1 0 1 0]]
"""
度矩阵(Degree matrix)
度矩阵是对角阵，对角上的元素为各个顶点的度。如下所示：
D i , j ≔ { d e g ( v i ) if i = j 0 otherwise \begin{matrix} D_{i,j} \coloneqq \begin{cases} deg(v_i) &\text{if } i=j \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases} \end{matrix} Di,j:={deg(vi)0if i=jotherwise
则 G G G 的度矩阵为：
D = [ 1 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 2 ] D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} D=⎣⎢⎢⎢⎢⎡1000004000002000003000002⎦⎥⎥⎥⎥⎤
networkx没有提供相应的API，不过度矩阵也很容易根据邻接矩阵求出：
D = np.diag(A.sum(0)) # 邻接矩阵在任意轴上的和转换为对角矩阵
print(D)
"""
[[1 0 0 0 0]
[0 4 0 0 0]
[0 0 2 0 0]
[0 0 0 3 0]
[0 0 0 0 2]]
"""
关联矩阵(Incidence matrix)
关联矩阵将每一行分配给一个节点，将每一列分配给一条边。
| e 1 e_1 e1 | e 2 e_2 e2 | e 3 e_3 e3 | e 4 e_4 e4 | e 5 e_5 e5 | e 6 e_6 e6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
在networkx中的API如下：
print(nx.incidence_matrix(G).toarray())
"""
[[1. 0. 0. 0. 0. 0.]
[1. 1. 1. 1. 0. 0.]
[0. 1. 0. 0. 1. 0.]
[0. 0. 1. 0. 1. 1.]
[0. 0. 0. 1. 0. 1.]]
"""
拉普拉斯矩阵
本节介绍几种拉普拉斯矩阵的公式及例子，详细内容参见《关于谱图理论-图傅里叶变换-谱卷积等谱图领域知识的理解》的 Laplacian矩阵简介 一节。
注：由于关联矩阵与邻接矩阵的等价性，拉普拉斯矩阵也可以通过关联矩阵求出，本文只介绍通过邻接矩阵求拉普拉斯的公式，详细内容可参见 wiki百科拉普拉斯矩阵 。
常规拉普拉斯矩阵
L = D − A L=D-A L=D−A，其中 D D D 是度矩阵， A A A 是邻接矩阵。
在networkx中的API如下：
L = nx.laplacian_matrix(G).toarray()
print(L)
"""
[[ 1 -1 0 0 0]
[-1 4 -1 -1 -1]
[ 0 -1 2 -1 0]
[ 0 -1 -1 3 -1]
[ 0 -1 0 -1 2]]
"""
拉普拉斯矩阵标准化
具有大度数的节点，也称为重节点(heavy node)，会导致拉普拉斯矩阵中的对角线值大的元素支配矩阵属性。标准化旨在通过将拉普拉斯矩阵的条目除以顶点度数，使此类顶点的影响与其他顶点的影响更相等。 为了避免被零除，具有零度数的孤立顶点被排除在标准化过程之外。
L n o r m = D − 1 / 2 L D − 1 / 2 = I − D − 1 / 2 A D − 1 / 2 L^{norm} = D^{-1/2} L D^{-1/2}= I-D^{-1/2} A D^{-1/2} Lnorm=D−1/2LD−1/2=I−D−1/2AD−1/2
，其中 D D D 是度矩阵， L L L 是邻接矩阵，I是单位矩阵。
numpy计算代码为：
D1 = np.diag(1/np.sqrt(A.sum(0))) # D^{-1/2}
L_norm = D1.dot(L).dot(D1)
print(L_norm)
"""
[[ 1. -0.5 0. 0. 0. ]
[-0.5 1. -0.35355339 -0.28867513 -0.35355339]
[ 0. -0.35355339 1. -0.40824829 0. ]
[ 0. -0.28867513 -0.40824829 1. -0.40824829]
[ 0. -0.35355339 0. -0.40824829 1. ]]
"""
networkx API为：
L_norm = nx.normalized_laplacian_matrix(G).toarray()
print(L_norm)
"""
[[ 1. -0.5 0. 0. 0. ]
[-0.5 1. -0.35355339 -0.28867513 -0.35355339]
[ 0. -0.35355339 1. -0.40824829 0. ]
[ 0. -0.28867513 -0.40824829 1. -0.40824829]
[ 0. -0.35355339 0. -0.40824829 1. ]]
"""