机器学习中的数学——距离定义（二十六）：Wasserstein距离（Wasserstei Distance）/EM距离（Earth-Mover Distance）

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Wasserstein距离也被称为推土机距离（Earth Mover’s Distance，EMD），用来表示两个分布的相似程度。Wasserstein距离衡量了把数据从分布$p$移动成”分布$q$时所需要移动的平均距离的最小值。Wasserstein距离是2000年IJCV期刊文章《The Earth Mover’s Distance as a Metric for Image Retrieval》提出的一种直方图相似度量。如果两个分布$p$和$q$离得很远，完全没有重叠的时候，那么KL散度值是没有意义的，而JS散度值是一个常数。这在学习算法中是比较致命的，这就意味这这一点的梯度为0，即梯度消失，而Wasserstein距离可以解决这个问题。

我们将两个分布$p$和$q$看成两堆土，如下图所示，希望把其中的一堆土移成另一堆土的位置和形状，有很多种可能的方案。推土代价被定义为移动土的量乘以土移动的距离，在所有的方案中，存在一种推土代价最小的方案，这个代价就称为两个分布的Wasserstein距离。

Wasserstein距离的形式化的表达式如下：
$$W(p,q)=\underset{\gamma \sim \prod (p,q)}{\inf }{E}_{x,y\sim \gamma }[||x-y||]$$

其中， $\prod (p,q)$表示​分布$p$和$q$组合起来的所有可能的联合分布的集合。对于每一个可能的联合分布$\gamma$可以从中采样$(x,y)\sim \gamma$得到一个样本​$x$和 ​ ​ ​y，并计算出这对样本的距离$||x-y||$，所以可以计算该联合分布$\gamma$下，样本对距离的期望值$E_{x,y\sim \gamma }[||x-y||]$​。在所有可能的联合分布中能够对这个期望值取到的下界就是Wasserstein距离。用推土的方式理解就是，$E_{x,y\sim \gamma }[||x-y||]$是在$\gamma$这种路径规划下，把$p$​这堆土，移成​$q$的样子的消耗，而Wasserstein距离就是在”最优路径规划“下的最小消耗。