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数字信号处理笔记09：数字滤波器设计方法

一、模拟滤波器设计

模拟滤波器指标

数字信号处理笔记09：数字滤波器设计方法_第1张图片

\Omega_P：通带截止频率

\Omega_S：阻带起始频率

\delta_P：通带内最大衰减

\delta_S：阻带内最小衰减

由幅度平方函数确定系统函数

|H(j\Omega)|^2 = H(j\Omega) H^*(j\Omega)

h(t)\leftrightarrow H(j\Omega) \leftrightarrow H(s)

h^*(-t) \leftrightarrow H^*(j\Omega) \leftrightarrow H^*(-s^*)

数字信号处理笔记09：数字滤波器设计方法_第2张图片

确定|H(j\Omega)|^2后，选择一半的关于虚轴对称的零极点则可组成H(j\Omega)

低通巴特沃斯滤波器

|H(j\Omega)|^2 = \frac{1}{1+\left( \frac{\Omega}{\Omega_c} \right )^{2N}}

数字信号处理笔记09：数字滤波器设计方法_第3张图片

设计低通滤波器，要求如下：

 解：

0.89125^2 = \frac{1}{1+\left( \frac{2\pi 400}{\Omega_c} \right )^{2N}}

0.17783^2 = \frac{1}{1+\left( \frac{2\pi 600}{\Omega_c} \right )^{2N}}

化简得

\left( \frac{2\pi 400}{\Omega_c} \right )^{2N} = \frac{1}{0.89125^2}-1
\left( \frac{2\pi 600}{\Omega_c} \right )^{2N} = \frac{1}{0.17783^2} -1

计算可得

N = \frac{1}{2} \frac{ln\left( \frac{1-\frac{1}{0.89125^2}}{1-\frac{1}{0.17783^2}} \right )}{ln(\frac{2}{3})} = 5.88574

取N为6，计算可得到\Omega_c = 2813

因此，|H(j\Omega)|^2 = \frac{1}{1+\left( \frac{\Omega}{2813} \right )^{12}} = \frac{1}{1+(\frac{j\Omega}{j2813})^{12}}

那么，|H(s)|^2 = \frac{1}{1+\left( \frac{s}{j2813} \right)^{12}}

极点：

1+\left[\frac{s_p}{j2813}\right]^{12} = 0

可得：s_p = (-1)^{\frac{1}{12}}j2813 = \left( e^{j2k\pi}e^{j\pi} \right )^{\frac{1}{12}} e^{j\frac{\pi}{2}} 2813 =2813 e^{j\frac{2k+7}{12}\pi}

数字信号处理笔记09：数字滤波器设计方法_第4张图片

取左半平面的极点

H(s) = \frac{2813^6}{(s-2813e^{j\frac{7}{12}\pi})(s-2813e^{-j\frac{7}{12}\pi})(s-2813e^{j\frac{3}{4}\pi})(s-2813e^{-j\frac{3}{4}\pi})(s-2813e^{j\frac{11}{12}\pi})(s-2813e^{-j\frac{11}{12}\pi})}

数字信号处理笔记09：数字滤波器设计方法_第5张图片

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频率转换与高通、带通、带阻滤波器设计

数字信号处理笔记09：数字滤波器设计方法_第7张图片

 二、离散时间系统对连续时间信号进行滤波

数字信号处理笔记09：数字滤波器设计方法_第8张图片

 X(e^{jw}) = \frac{1}{T_s} \sum_{k = -\infty}^{\infty} X_c\left( j \frac{w}{T_s} - j \frac{2\pi k}{T_s} \right )

Y(e^{jw} ) = X(e^{jw})H(e^{jw}) = \frac{1}{T_s} \sum_{k = -\infty}^{\infty} X_c\left( j \frac{w}{T_s} - j \frac{2\pi k}{T_s} \right ) H(e^{jw})

将y[n]转化为连续时间信号y_s(t)

Y_s(j\Omega) = Y(e^{jw})|_{w = \Omega T_s} = Y(e^{j\Omega T_s}) \\= \frac{1}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_c \left( j\Omega - j\frac{2\pi k}{T_s} \right) H(e^{j\Omega T_s})

连续时间信号y_s(t)经增益为T_s，通带为\left( -\frac{\Omega_s}{2}, \frac{\Omega_s}{2} \right )的重构滤波器h_r(t)后得到重建的连续时间信号y_r(t)

Y_r(j\Omega) = H_r(j\Omega) Y_s(j\Omega) \\= H_r(j\Omega) \frac{1}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_c \left( j\Omega - j\frac{2\pi k}{T_s} \right) H(e^{j\Omega T_s}) \\= X_c(j\Omega)H(e^{j\Omega T_s})

|\Omega| < \frac{\Omega_s}{2}

数字滤波器H(e^{jw})的模拟等效滤波器：H_{eff}(j\Omega) = H(e^{j\Omega T_s}),|\Omega| < \frac{\pi}{T_s}

三、冲激响应不变法设计IIR滤波器 

数字滤波器设计是根据幅频响应|H(e^{jw})|，设计出满足要求的系统函数H(z)。根据H(z)可以画出信号流图，在数字系统中编程实现。

IIR数字滤波器的设计：

（1）将待设计的数字滤波器的性能指标w转换为模拟滤波器的性能指标\Omega

（2）设计满足要求的模拟滤波器H(s)

（3）将模拟滤波器转换为数字滤波器H(z)

冲击响应不变法把H(s)从s平面映射到z平面的H(z)，z = e^{sT_s}

 对于有理分式

H(s) = \sum_{k=1}^{N} \frac{A_k}{s-s_k}

h(t) = \sum_{k=1}^{N} A_k e^{s_k t} u(t)

h[n] = h(nT_s) =\sum_{k=1}^{N} A_k e^{s_k nT_s} u(nT_s) = \sum_{k=1}^{N} A_k e^{s_k T_s n} u(n)

数字信号处理笔记09：数字滤波器设计方法_第9张图片

四、双线性变换法设计IIR滤波器

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 五、窗函数法设计FIR滤波器

理想数字低通滤波器：

 H_d(e^{jw}) = 1, |w| < w_c

h_d[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} H_d(e^{jw}) e^{jwn} dw \\ = \frac{1}{2\pi} \int_{-w_c}^{w_c} e^{jwn} dw \\= \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{e^{jwn}}{jn} \right ]_{-w_c}^{w_c} \\= \frac{1}{2\pi} \frac{e^{jw_c n} - e^{-jw_c n}}{jn} \\= \frac{1}{2\pi} \frac{2jsin(w_c n)}{jn} \\= \frac{sin(w_c n)}{\pi n}

通过移位和加窗的方法，把理想滤波器的单位脉冲响应h_d[n]变成一个有限长的因果序列h[n]

h[n] = h_d[n-M/2] w[n]

其中，w[n] = 1, 0\leq n \leq M

对于w[n]，其DTFT为

W(e^{jw}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} w[n] e^{-jwn} = \sum_{n=0}^{M} e^{-jwn} = \frac{1-e^{-jw(M+1)}}{1-e^{-jw}} \\ = \frac{e^{-jw(M+1)/2}}{e^{-jw/2}} \frac{e^{jw(M+1)/2} - e^{-jw(M+1)/2}}{e^{jw/2} - e^{-jw/2}} \\= e^{-jwM/2} \frac{sin\left[w \frac{M+1}{2} \right ]}{sin\left[ \frac{w}{2} \right ]}

对于h_d[n-M/2]，其DTFT为H_d(e^{jw}) e^{-jwM/2}

因为h[n] = h_d[n-M/2] w[n]

所以，

H(e^{jw}) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} W(e^{j(w-\theta)}) H_d(e^{j\theta}) e^{-j\theta M/2} d\theta \\= \frac{1}{2\pi} \int_{-w_c}^{w_c} e^{-j(w-\theta)M/2} \frac{sin\left[(w-\theta) \frac{M+1}{2} \right ]}{sin\left[ \frac{w-\theta}{2} \right ]} e^{-j\theta M/2} d\theta \\= \frac{e^{-jwM/2}}{2\pi} \int_{-w_c}^{w_c} \frac{sin\left[(w-\theta) \frac{M+1}{2} \right ]}{sin\left[ \frac{w-\theta}{2} \right ]} d\theta

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 常用窗函数

  • 矩形窗

w[n] = \left\{\begin{matrix} 1, & 0\leq n \leq M \\ 0, & others \end{matrix}\right.

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  •  Bartlett窗

w[n] = \left\{\begin{matrix} 2n/M & 0\leq n \leq M/2 \\ 2-2n/M & M/2 < n \leq M\\ 0 & others \end{matrix}\right.

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  •  Hanning窗

w[n] \left\{\begin{matrix} 0.5 - 0.5 cos(2\pi n/M) & 0 \leq n \leq M \\ 0 & others \end{matrix}\right.

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  •  Hamming窗

w[n] = \left\{\begin{matrix} 0.54 - 0.46 cos(2\pi n /M) & 0\leq n \leq M \\ 0 & others \end{matrix}\right.

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  •  Blackman窗

w[n] = \left\{\begin{matrix} 0.42 - 0.5 cos(2\pi n /M) + 0.08 cos(4\pi n /M) & 0 \leq n \leq M \\ 0 & {\rm others} \end{matrix}\right.

窗 主瓣宽度 旁瓣峰值 过渡带近似宽度 阻带最小衰减 等效Kaiser窗\beta
矩形 \frac{4\pi}{M+1} -13dB \frac{1.8\pi}{M+1} -21dB 0
Bartlett \frac{8\pi}{M+1} -25dB \frac{4.1\pi}{M+1} -25dB 1.33
Hanning \frac{8\pi}{M+1} -31dB \frac{6.2\pi}{M+1} -44dB 3.86
Hamming \frac{8\pi}{M+1} -41dB \frac{6.6\pi}{M+1} -53dB 4.86
Blackman \frac{12\pi}{M+1} -57dB \frac{11\pi}{M+1} -74dB 7.04

设计以通带截止频率w_p= 0.4\pi和w_s = 0.6\pi，通带纹波\delta_1 = 0.01，阻带纹波\delta_2 = 0.001的低通滤波器。

最终的数字低通滤波器单位冲击响应函数为

h[n] = h_d[n-M/2] w[n] = \frac{sin \left[ w_c (n-M/2) \right ]}{\pi (n-M/2)} w[n]

上式中需要确定的参数为w_c、M和w[n]

(1) 确定窗函数形状w[n]

A = -20lg \delta_2 = 60dB

选择Blackman窗

w[n] = \left\{\begin{matrix} 0.42 - 0.5 cos(2\pi n /M) + 0.08 cos(4\pi n /M) & 0 \leq n \leq M \\ 0 & {\rm others} \end{matrix}\right.

（2）确定M

过渡带宽度\frac{11\pi}{M+1} \leq w_s - w_p，计算得到M \geq 54

（3） 确定wc

计算参数w_c = \frac{w_p+w_s}{2} = 0.5\pi

由此可得到滤波器的单位脉冲响应

h[n] = \frac{sin \left[ 0.5\pi (n-27) \right ]}{\pi (n-27)} w[n]

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  •  Kaiser窗

w[n] = \left\{\begin{matrix} \frac{I_0\left[ \beta \left( 1 - (n-\alpha)^2/\alpha^2 \right )^{0.5} \right ]}{I_0(\beta)} & 0\leq n \leq M\\ 0& {\rm others} \end{matrix}\right.

\beta = \left\{\begin{matrix} 0.1102 (A-8.7) & A>50 \\ 0.5842(A-21)^{0.4} + 0.07886(A-21) & 21\leq A \leq 50 \\ 0 & A<21 \end{matrix}\right.

\alpha = \frac{M}{2}

M = \frac{A-8}{2.285 (w_s - w_p)}

A = -20lg \delta

I_0(\cdot)表示第一类零阶修正的贝塞尔函数

六、频率采样法设计FIR滤波器

假设某FIR系统的单位脉冲响应为h[n]，h[n]的DTFT为H(e^{jw})，h[n]的DFT为H[k]。H[k] = H(e^{jw})|_{w = \frac{2\pi k}{ N}}

根据给定的滤波器的系统性能可确定系统的频率响应H(e^{jw})，进而计算出其采样值H[k]，然后由H[k]的IDFT得到所设计滤波器的单位脉冲响应h[n]

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    12.14子张问政。子曰：“居之无倦，行之以忠。”子张问为政之道。孔子说：“在位尽职不懈怠，执行政令要忠诚。”12.15子曰：“博学于文，约之以礼，亦可以弗畔矣夫！”孔子说：“君子广泛地学习文献，并且用礼节约束自己，也就不会离经叛道了。”12.16子曰：“君子成人之美，不成人之恶。小人反是。”孔子说：“君子成全别人的好事，而不助长别人的坏处。小人则与此相反行事。”知识点:“成人之美，不成人之恶”贯
  • nosql数据库技术与应用知识点 皆过客，揽星河 NoSQLnosql数据库大数据数据分析数据结构非关系型数据库
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  • 《Python数据分析实战终极指南》 xjt921122 python数据分析开发语言
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  • 2019-01-19 王小康KK
    姓名:王康公司:扬州市方圆建筑工程有限公司2018年3月16日～3月18日上海361期《六项精进》感谢二组学员【日精进打卡第307天】【知～学习】《六项精进》大纲3遍共862遍《大学》通篇3遍共860遍《六项精进》全书40页【经典名句】思想决定行为，行为决定习惯，习惯决定性格，性格决定命运。【行～实践】一、修身：（对自己个人）1、践行六项精进的理念。二、齐家：（对家庭和家人）1、和女朋友视频聊天。
  • 关于旗正规则引擎规则中的上传和下载问题 何必如此 文件下载压缩jsp文件上传
    文件的上传下载都是数据流的输入输出，大致流程都是一样的。 一、文件打包下载 1.文件写入压缩包 string mainPath="D:\upload\";     下载路径 string tmpfileName=jar.zip;        &n
  • 【Spark九十九】Spark Streaming的batch interval时间内的数据流转源码分析 bit1129 Stream
      以如下代码为例（SocketInputDStream）： Spark Streaming从Socket读取数据的代码是在SocketReceiver的receive方法中，撇开异常情况不谈(Receiver有重连机制，restart方法，默认情况下在Receiver挂了之后，间隔两秒钟重新建立Socket连接)，读取到的数据通过调用store(textRead)方法进行存储。数据
  • spark master web ui 端口8080被占用解决方法 daizj 8080端口占用sparkmaster web ui
    spark master web ui 默认端口为8080，当系统有其它程序也在使用该接口时，启动master时也不会报错，spark自己会改用其它端口，自动端口号加1，但为了可以控制到指定的端口，我们可以自行设置，修改方法：   1、cd SPARK_HOME/sbin   2、vi start-master.sh     3、定位到下面部分
  • oracle_执行计划_谓词信息和数据获取 周凡杨 oracle执行计划
      oracle_执行计划_谓词信息和数据获取(上) 一：简要说明 在查看执行计划的信息中，经常会看到两个谓词filter和access，它们的区别是什么，理解了这两个词对我们解读Oracle的执行计划信息会有所帮助。 简单说，执行计划如果显示是access，就表示这个谓词条件的值将会影响数据的访问路径（表还是索引），而filter表示谓词条件的值并不会影响数据访问路径，只起到
  • spring中datasource配置 g21121 dataSource
    datasource配置有很多种，我介绍的一种是采用c3p0的，它的百科地址是： http://baike.baidu.com/view/920062.htm   <!-- spring加载资源文件 --> <bean name="propertiesConfig" class="org.springframework.b
  • web报表工具FineReport使用中遇到的常见报错及解决办法（三） 老A不折腾 finereportFAQ报表软件
    这里写点抛砖引玉，希望大家能把自己整理的问题及解决方法晾出来，Mark一下，利人利己。   出现问题先搜一下文档上有没有，再看看度娘有没有，再看看论坛有没有。有报错要看日志。下面简单罗列下常见的问题，大多文档上都有提到的。 1、repeated column width is largerthan paper width： 这个看这段话应该是很好理解的。比如做的模板页面宽度只能放
  • mysql 用户管理 墙头上一根草 linuxmysqluser
    1.新建用户 //登录MYSQL@>mysql -u root -p@>密码//创建用户mysql> insert into mysql.user(Host,User,Password) values(‘localhost’,'jeecn’,password(‘jeecn’));//刷新系统权限表mysql>flush privileges;这样就创建了一个名为：
  • 关于使用Spring导致c3p0数据库死锁问题 aijuans springSpring 入门Spring 实例Spring3Spring 教程
    这个问题我实在是为整个 springsource 的员工蒙羞 如果大家使用 spring 控制事务，使用 Open Session In View 模式， com.mchange.v2.resourcepool.TimeoutException: A client timed out while waiting to acquire a resource from com.mchange.
  • 百度词库联想 annan211 百度
    <!DOCTYPE html> <html> <head> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8"> <title>RunJS</title&g
  • int数据与byte之间的相互转换实现代码 百合不是茶 位移int转bytebyte转int基本数据类型的实现
    在BMP文件和文件压缩时需要用到的int与byte转换,现将理解的贴出来;   主要是要理解;位移等概念 http://baihe747.iteye.com/blog/2078029   int转byte;   byte转int;   /** * 字节转成int,int转成字节 * @author Administrator *
  • 简单模拟实现数据库连接池 bijian1013 javathreadjava多线程简单模拟实现数据库连接池
    简单模拟实现数据库连接池 实例1： package com.bijian.thread; public class DB { //private static final int MAX_COUNT = 10; private static final DB instance = new DB(); private int count = 0; private i
  • 一种基于Weblogic容器的鉴权设计 bijian1013 javaweblogic
            服务器对请求的鉴权可以在请求头中加Authorization之类的key，将用户名、密码保存到此key对应的value中，当然对于用户名、密码这种高机密的信息，应该对其进行加砂加密等，最简单的方法如下： String vuser_id = "weblogic"; String vuse
  • 【RPC框架Hessian二】Hessian 对象序列化和反序列化 bit1129 hessian
     任何一个对象从一个JVM传输到另一个JVM，都要经过序列化为二进制数据(或者字符串等其他格式，比如JSON)，然后在反序列化为Java对象，这最后都是通过二进制的数据在不同的JVM之间传输(一般是通过Socket和二进制的数据传输)，本文定义一个比较符合工作中。   1. 定义三个POJO    Person类 package com.tom.hes
  • 【Hadoop十四】Hadoop提供的脚本的功能 bit1129 hadoop
    1. hadoop-daemon.sh 1.1 启动HDFS ./hadoop-daemon.sh start namenode ./hadoop-daemon.sh start datanode  通过这种逐步启动的方式，比start-all.sh方式少了一个SecondaryNameNode进程，这不影响Hadoop的使用，其实在 Hadoop2.0中，SecondaryNa
  • 中国互联网走在“灰度”上 ronin47 管理 灰度
    中国互联网走在“灰度”上（转） 文/孕峰   第一次听说灰度这个词，是任正非说新型管理者所需要的素质。第二次听说是来自马化腾。似乎其他人包括马云也用不同的语言说过类似的意思。   灰度这个词所包含的意义和视野是广远的。要理解这个词，可能同样要用“灰度”的心态。灰度的反面，是规规矩矩，清清楚楚，泾渭分明，严谨条理，是决不妥协，不转弯，认死理。黑白分明不是灰度，像彩虹那样
  • java-51-输入一个矩阵，按照从外向里以顺时针的顺序依次打印出每一个数字。 bylijinnan java
    public class PrintMatrixClockwisely { /** * Q51.输入一个矩阵，按照从外向里以顺时针的顺序依次打印出每一个数字。 例如：如果输入如下矩阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9
  • mongoDB 用户管理 开窍的石头 mongoDB用户管理
      1:添加用户    第一次设置用户需要进入admin数据库下设置超级用户（use admin）      db.addUsr({user:'useName',pwd:'111111',roles:[readWrite,dbAdmin]});    第一个参数用户的名字    第二个参数
  • [游戏与生活]玩暗黑破坏神3的一些问题 comsci 生活
        暗黑破坏神3是有史以来最让人激动的游戏。。。。但是有几个问题需要我们注意      玩这个游戏的时间，每天不要超过一个小时，且每次玩游戏最好在白天      结束游戏之后，最好在太阳下面来晒一下身上的暗黑气息，让自己恢复人的生气   &nb
  • java 二维数组如何存入数据库 cuiyadll java
    using System; using System.Linq; using System.Text; using System.Windows.Forms; using System.Xml; using System.Xml.Serialization; using System.IO; namespace WindowsFormsApplication1 {
  • 本地事务和全局事务Local Transaction and Global Transaction(JTA) darrenzhu javaspringlocalglobaltransaction
    Configuring Spring and JTA without full Java EE http://spring.io/blog/2011/08/15/configuring-spring-and-jta-without-full-java-ee/ Spring doc -Transaction Management http://docs.spring.io/spri
  • Linux命令之alias - 设置命令的别名，让 Linux 命令更简练 dcj3sjt126com linuxalias
    用途说明 设置命令的别名。在linux系统中如果命令太长又不符合用户的习惯，那么我们可以为它指定一个别名。虽然可以为命令建立“链接”解决长文件名的问 题，但对于带命令行参数的命令，链接就无能为力了。而指定别名则可以解决此类所有问题【1】。常用别名来简化ssh登录【见示例三】，使长命令变短，使常 用的长命令行变短，强制执行命令时询问等。   常用参数 格式：alias 格式：ali
  • yii2 restful web服务[格式响应] dcj3sjt126com PHPyii2
    响应格式 当处理一个 RESTful API 请求时， 一个应用程序通常需要如下步骤 来处理响应格式： 确定可能影响响应格式的各种因素， 例如媒介类型， 语言， 版本， 等等。 这个过程也被称为 content negotiation。 资源对象转换为数组， 如在 Resources 部分中所描述的。 通过 [[yii\rest\Serializer]]
  • MongoDB索引调优（2）——[十] eksliang mongodbMongoDB索引优化
    转载请出自出处：http://eksliang.iteye.com/blog/2178555 一、概述       上一篇文档中也说明了，MongoDB的索引几乎与关系型数据库的索引一模一样，优化关系型数据库的技巧通用适合MongoDB，所有这里只讲MongoDB需要注意的地方 二、索引内嵌文档     可以在嵌套文档的键上建立索引，方式与正常
  • 当滑动到顶部和底部时，实现Item的分离效果的ListView gundumw100 android
    拉动ListView，Item之间的间距会变大，释放后恢复原样； package cn.tangdada.tangbang.widget; import android.annotation.TargetApi; import android.content.Context; import android.content.res.TypedArray; import andr
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  • mongodb 聚合查询每天论坛链接点击次数 qiaolevip 每天进步一点点学习永无止境mongodb纵观千象
    /* 18 */ { "_id" : ObjectId("5596414cbe4d73a327e50274"), "msgType" : "text", "sendTime" : ISODate("2015-07-03T08:01:16.000Z"
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    PO(persistant object) 持久对象 在o/r 映射的时候出现的概念,如果没有o/r映射,就没有这个概念存在了.通常对应数据模型(数据库),本身还有部分业务逻辑的处理.可以看成是与数据库中的表相映射的java对象.最简单的PO就是对应数据库中某个表中的一条记录,多个记录可以用PO的集合.PO中应该不包含任何对数据库的操作. VO(value object) 值对象 通
  • 算法复杂度 Wuaner Algorithm
    Time Complexity & Big-O： http://stackoverflow.com/questions/487258/plain-english-explanation-of-big-o http://bigocheatsheet.com/ http://www.sitepoint.com/time-complexity-algorithms/
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