【数学与算法】跟踪、预测、单目标、多目标、匈牙利匹配之间的关系

关于多目标跟踪的文章可以参考 目标跟踪初探——SORT。

多目标跟踪的步骤先后(简单记法)：

先预测，再匈牙利匹配，最后再卡尔曼预测矫正，得到最优估计。

【卡尔曼预测+匈牙利匹配】 进行多目标跟踪的详细步骤：

• (1) 根据预测方程，计算【状态预测值(先验值)】、【状态误差协方差先验估计】；
• (2) 计算每个检测对象与每个状态跟踪器之间的【代价矩阵】；
• (3) 匈牙利匹配(KM算法)求出【检测对象和跟踪器的匹配对】、【未匹配上的检测对象】、【未匹配上的卡尔曼跟踪器】；
• (4) 给没匹配上的检测对象创建卡尔曼跟踪器；
• (5) 根据状态预测方程，给未匹配上的跟踪器进行简单的状态更新，即只使用状态预测方程得到先验值，没有卡尔曼增益矫正；
• (6) 对匹配上的跟踪器求出【卡尔曼增益】、根据检测对象的观测值求出【状态最优状态估计】、 【状态误差协方差后验估计】。
• (7) 跳转到第(1)步，把第(6)步求出来的【状态最优状态估计】、 【状态误差协方差后验估计】作为上一帧的值，来预测当前帧的【状态预测值(先验值)】、【状态误差协方差先验估计】

过程噪声和测量噪声一定存在，否则，上面两个方程就是确定的方程，就不存在卡尔曼预测了。
过程噪声和测量噪声，这两个噪声的协方差矩阵并不是状态方程和测量方程中的那两个$w_k$和$v_k$,注意看，$w_k$和$v_k$是向量，向量中各元素对应每个特征的随机扰动，他们每个特征都假设服从高斯分布。

注意：均值u=0,标准差$\sigma$=1的高斯分布叫标准正态分布。

卡尔曼滤波器中只假设特征服从均值为0的高斯分布，并不是服从标准正态分布。你既可以把你的特征标准差 $\sigma$设为1,也可以设为其他值。所以，简单的卡尔曼滤波器都是把标准差$\sigma$设为1。

单个特征服从高斯分布N(0,$\sigma$)。

如果把多个零均值的特征组成特征向量，那么特征向量就服从N(0,C)。C就是协方差矩阵。
如果两个特征之间的协方差为0，就表示这两个特征之间相互独立。

那么特征向量的协方差矩阵就是对角阵，即只有对角线上的元素非0，其他元素都为0。对角线元素就表示自己特征的方差。

卡尔曼滤波的三个假设：

可以参考卡尔曼滤波的三个假设.

• 1.服从高斯分布（测量噪声、系统噪声以及初始值都要求是，且互不相关）
• 2.系统是线性的（状态变化和测量都要求是）
• 3.贝叶斯滤波的马尔可夫假设。又叫完整状态假设，假设过去以及未来的数据都是独立的。也就是t时刻的状态可以只由t-1时刻的状态推出，与（t-2）时刻的状态无关。这个其实在上面的线性公式中已经体现出来了。

预测与观测均是高斯分布，两个高斯分布的乘积就是加权后的结果。新的高斯分布方差最小，确定性也最高。

障碍物跟踪主要功能为:防止障碍物的位置、速度信息的帧间跳变，保证障碍物信息的连续性。

所有的状态估计问题都会有这两个方程：
运动方程：上一帧到当前帧的一个变化关系。通过前一帧的状态量和方差，得到当前帧的状态量和方差。
观测方程：将当前的状态，观测矩阵乘上这个状态，再把观测的噪声加进去，就得到你当前的观测结果。
注意，状态量和观测量的维度不一定相等，比如位置和速度是状态量，观测量只有速度，那么可以通过设定观测矩阵，来去掉观测量的位置。

如果观测量的维度和状态量的维度一致，可以写为：
$$Z=\left[\begin{array}{c}{P}_{t\_measure}\\ V_{t\_measure}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{P}_t\\ V_t\end{array}\right]+测量噪声向量(二维)$$
观测矩阵就是$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$。

如果观测量的维度和状态量的维度不一致，只有速度可以观测到，那么可以写为：
$$Z=V_{t\_measure}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{P}_t\\ V_t\end{array}\right]+测量噪声向量(一维)$$
观测矩阵就是$\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]$。

预测值是根据系统的状态用运动方程来预测的；
观测值是通过某种传感器来获取的。
zhz:卡尔曼滤波的核心就是加权平均法，只不过我们平时设置权重可能是人为经验指定的权重，而卡尔曼滤波则是根据测量噪声、过程噪声、状态向量到测量向量的转移矩阵等进行建模得到的权重。

注意2个预测公式和5个更新公式，我们想要得到的是状态量的最优值，他是在更新公式中，不是在预测公式中，因为最优估计是通过加权平均估计出来的，不是预测出来的，因为预测出来的值也是有过程噪声的，根据上一时刻状态量预测出下一时刻的状态量，有偏差，需要加权法来矫正。

预测的两个公式是根据上一时刻的状态量 得到当前时刻的状态量（先验值） ， 或者根据上一时刻$k-1$的${\hat{x}}_{k-1}$的后验估计协方差，得到当前$k$时刻的${\hat{x}}_k^{-}$的先验估计协方差。一个是状态量的预测，一个是状态估计的协方差的预测。

更新的三个公式是分别是求卡尔曼增益、状态量的最优值、当前时刻的后验估计协方差。
预测和更新是交替进行。预测后的值需要在更新中用到；而更新后的值，作为下一时刻的预测的输入(时刻下标k变为了k-1代入预测公式)。

更新公式中的状态最优估计公式需要用到卡尔曼增益公式，而卡尔曼增益公式需要用到预测公式中的协方差预测，协方差公式的更新也需要用到预测公式中的协方差预测，以及卡尔曼增益。

预测：

预测就是针对每一个单一目标来特定分析。如果有多个目标，那么就是分别对每个目标进行预测。

• (1) 根据该目标k-1时刻的状态来预测k时刻的状态(得到k时刻的先验估计值)；
• (2) 然后用k时刻的观测值再来校正k的估计值，(进行加权)得到k时刻的后验估计(最优估计)。

跟踪：

对于单目标跟踪来说，不需要匈牙利匹配，只需要卡尔曼滤波。
对于多目标跟踪来说，需要卡尔曼滤波器和匈牙利匹配一起才能做到。

• (1) 卡尔曼滤波器先根据所有目标k-1时刻的状态分别预测对应目标k时刻的状态(是先验估计值，并非最优估计，因为还不知道k时刻的观测值，要匹配上之后才知道观测值)；
• (2) 然后匈牙利匹配把所有目标的k时刻状态预测值(先验估计)和所有目标的k时刻观测值的状态进行匹配，匹配上就是跟踪上了。
• 注意，是k时刻预测值(先验估计值)和k时刻观测值匹配，进行下一次跟踪时，再利用k时刻观测值矫正k时刻先验估计值，得到k时刻最优估计值，作为新的状态值来预测k+1时刻的先验估计值。

平滑：

平滑是对历史数据做修正。