图的最短路径问题 详细分解版

图的最短路径问题 详细分解版

1.图的最短路径问题分类

2.单源最短路问题

2.1边权值都是正数情况

2.1.1 朴素Dijstra算法

算法思想：每次从未被确定最短距离的结点中找出距离起点最小值的结点，加入集合s中，并用该结点更新其他未被确定最短路径值得结点路径。直到最终全部节点的最短路径值都计算出，此时集合s为所有结点集合。

#include
using namespace std;

const int N = 510;
int g[N][N];//稠密图，邻接矩阵存储
int st[N];//是否被访问过，即是否在s集合中
int dist[N];//记录每个点到起点的距离
int n,m;
//返回编号为n的结点到1号结点的最短路径
int dijstra(){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);//将距离初始化为无穷大
    dist[1]=0;//1号结点距离初始化为0
    for(int i=0;i<n;i++){//n轮循环，每次找出一个结点，加入s集合，并用其更新其他节点dist数组。必须有n轮循环，因为要更新dist数组
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++){//循环找出当前距离起始的1号结点最近，且未加入s的结点
            if(!st[j]&&(t==-1||dist[j]<dist[t])){
                t=j;
            }
        }
        st[t]=true;//将该结点加入s数组
        for(int j=1;j<=n;j++){//循环更新其他节点距离
            if(!st[j]){
                dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);
            }
        }
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;//如果dist[n]未被更新，说明其不可达
    return dist[n];
}

int main(){
    memset(g,0x3f,sizeof g);//初始化结点间的距离为无穷大
    cin>>n>>m;//输入数据包含n个结点，m条边
    int a,b,c;
    while(m--){
        cin>>a>>b>>c;//输入m条边，输入数据存在自环和重边，取最小值即可
        g[a][b]=min(g[a][b],c);
    }
    cout<<dijstra()<<endl;
    return 0;
}

算法分析：算法包含两轮循环，时间复杂度为$O(n^2)$

2.1.2 堆优化的Dijstra算法

优化思想：朴素Dijstra算法每次都要找出当前距离起点最近的结点，加入集合s中。我们可以使用堆来维护结点距离起点的距离，省去一重循环。

//稀疏图的dijstra
#include
using namespace std;

const int N = 1.5e5+10;

int e[N],ne[N],w[N],h[N],idx;//稀疏图，采用邻接表存储

int n,m;//n个结点，m条边

int dist[N];//距离数组
bool st[N];//是否访问过，即s集合标记

typedef pair<int, int> PII;//使用堆自动排序，pair的first为距离，second为编号

void add(int a,int b,int c){//添加结点a->b的边，权值为c
    e[idx]=b;
    w[idx]=c;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}

int dijstra(){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> q;//声明小根堆
    q.push({0,1});//1号结点加入队列
    while(!q.empty()){
        PII t=q.top();
        q.pop();
        int distance=t.first,x=t.second;
        if(st[x]) continue;//距离已经确定，跳过
        st[x]=true;
        for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i]){
            int j=e[i];
            if(dist[x]+w[i]<dist[j]){
                dist[j]=dist[x]+w[i];
                q.push({dist[j],j});
            }
        }
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    int a,b,c;
    memset(h,-1,sizeof h);
    while(m--){
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);
    }
    cout<<dijstra()<<endl;
    return 0;
}

算法分析：
时间复杂度：每次找到最小距离的点沿着边更新其他的点，若dist[j] > distance + w[i]，表示可以更新dist[j]，更新后再把j点和对应的距离放入小根堆中。由于点的个数是n，边的个数是m，在极限情况下（稠密图$m=\frac{n\ast n(n-1)}{2}$）最多可以更新m回，每一回最多可以更新$n^2$个点（严格上是n - 1个点），有m回，因此最多可以把$n^2$个点放入到小根堆中，因此每一次更新小根堆排序的情况是$O(log(n^2))$，一共最多m次更新，因此总的时间复杂度上限是$O(mlog((n^2)))=O(2mlogn)=O(mlogn)$
疑问：为什么会存在距离已经确定了点在堆中？
因为可能上次新加入集合s的元素更新了a的距离值，但是距离值很大，直到a的距离值确定了才pop出来。

2.2边权值存在负数的情况

2.2.1 Bellman-ford算法

算法思想：如果图中存在n个点，那么经过n-1次循环，每轮循环时把每条边都进行松弛操作，若在 n-1 次松弛后还能更新，则说明图中有负环，因此无法得出结果，否则就完成。
松弛操作：

for n次
	for 所有边 a,b,w (松弛操作)
		dist[b] = min(dist[b],back[a] + w)

注意：back[] 数组是上一次迭代后 dist[] 数组的备份，由于是每个点同时向外出发，因此需要对 dist[] 数组进行备份，若不进行备份会因此发生串联效应，影响到下一个点。

在下面代码中，是否能到达n号点的判断中需要进行if(dist[n] > INF/2)判断，而并非是if(dist[n] == INF)判断，原因是INF是一个确定的值，并非真正的无穷大，会随着其他数值而受到影响，dist[n]大于某个与INF相同数量级的数即可。

bellman - ford算法擅长解决有边数限制的最短路问题。

//本代码是解决有边数限制的最短路径问题的代码
#include
using namespace std;

const int N = 10010;
int n,m,k;
int dist[510],backup[510];

struct{
    int a,b,w;
}edges[N];//a->b有一条边，权重为w

int bellman_ford(){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    for(int i=0;i<k;i++){//最多k条边，总共最对经过k条边
        memcpy(backup,dist,sizeof dist);
        for(int j=0;j<m;j++){//对所有的m条边执行松弛操作
            int a=edges[j].a,b=edges[j].b,w=edges[j].w;
            if(backup[a]+w<dist[b]){
                dist[b]=backup[a]+w;
            }
        }
    }
    if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2) return -0x3f3f3f3f;
    else return dist[n];
}

int main(){
    cin>>n>>m>>k;
    int a,b,w;
    for(int i=0;i<m;i++){
        cin>>a>>b>>w;
        edges[i]={a,b,w};
    }
    int ans=bellman_ford();
    if(ans==-0x3f3f3f3f){
        cout<<"impossible"<<endl;
    }else{
        cout<<ans<<endl;
    }
    
    return 0;
}

算法分析：
时间复杂度：$O(nm)$,其中n为点数，m为边数

2.2.2 SPFA算法

算法思想：优化了Bellman-ford算法。在Bellman-ford算法中，dist[b] = min(dist[b],back[a] + w),如果a的距离没有更新，那么我的循环其实做了很多没用的操作。所以我们希望当a的距离更新时 ，再去用a更新其他结点的距离值。算法思想类似于Dijstra算法。

#include
using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int e[N],w[N],h[N],ne[N],idx;

int n,m;

int st[N];//记录结点是否在队列中，即是否发生更新
int dist[N];

void add(int a,int b,int c){
    e[idx]=b;
    w[idx]=c;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}

int spfa(){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    queue<int> q;
    q.push(1);
    while(!q.empty()){
        int t=q.front();
        q.pop();
        st[t]=false;
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){
            int j=e[i];
            if(dist[j]>dist[t]+w[i]){//松弛操作
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                if(!st[j]){//结点发生距离更新，所以可以用该结点去更新其他结点
                    q.push(j);
                    st[j]=true;
                }
            }
        }
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -0x3f3f3f3f;
    return dist[n];
}

int main(){
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin>>n>>m;
    int a,b,c;
    while(m--){
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);
    }
    int ans=spfa();
    if(ans==-0x3f3f3f3f) cout<<"impossible"<<endl;
    else cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

算法分析：
Bellman_ford算法里最后return -1的判断条件写的是dist[n]>0x3f3f3f3f/2;而spfa算法写的是dist[n]==0x3f3f3f3f;其原因在于Bellman_ford算法会遍历所有的边，因此不管是不是和源点连通的边它都会得到更新；但是SPFA算法不一样，它相当于采用了BFS，因此遍历到的结点都是与源点连通的，因此如果你要求的n和源点不连通，它不会得到更新，还是保持的0x3f3f3f3f。

Bellman_ford算法可以存在负权回路，是因为其循环的次数是有限制的因此最终不会发生死循环；但是SPFA算法不可以，由于用了队列来存储，只要发生了更新就会不断的入队，因此假如有负权回路请你不要用SPFA否则会死循环。

由于SPFA算法是由Bellman_ford算法优化而来，在最坏的情况下时间复杂度和它一样即时间复杂度为 $O(nm)$ ，假如题目时间允许可以直接用SPFA算法去解Dijkstra算法的题目。

求负环一般使用SPFA算法，方法是用一个cnt数组记录每个点到源点的边数，一个点被更新一次就+1，一旦有点的边数达到了n那就证明存在了负环。

3.多源汇最短路径问题

Floyd算法

算法思想：三重循环，动态规划思想。$dist[i][j]=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j])$

//此算法求x到y的最短距离，如果不存在，输出impossible
#include
using namespace std;

const int N = 510,INF=1e9;

int g[N][N];//g[i][j]记录i->j的最短路径

int n,m,Q;

void floyd(){
    for(int k=1;k<=n;k++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k][j]);
            }
        }
    }
}

int main(){
    cin>>n>>m>>Q;
    for(int i=1;i<=n;i++){//初始化数组
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i==j) g[i][j]=0;
            else g[i][j]=INF;
        }
    }
    while(m--){//输入m条边
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        g[a][b]=min(g[a][b],c);
    }
    
    
    floyd();
    
    while(Q--){//Q次查询
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        if(g[a][b]>INF/2) cout<<"impossible"<<endl;
        else cout<<g[a][b]<<endl;
    }
    
    return 0;
}

算法分析：三重循环，floyd算法时间复杂度为$O(n^3)$。Floyd算法的三重循环，必须先遍历k，再遍历i和j。i和j遍历的顺序可以交换。Floyd算法也可能存在更新了距离，但是仍然不可达的情况，所以判断条件为g[a][b]>INF/2，只要和INF是一个数量级就说明不可达。