深入理解MFCC（梅尔频率倒谱系数）

从倒谱图出发

MFCC是Mel Frequency Cepstral Coefficient的简称，要理解MFCC特征，就需要先明白这里引入的一个新的概念——Cepstral，这个形容词的名词形式为Cepstrum，即倒谱图（频谱图Spectrum前四个字母倒着拼），倒谱图是用来“提取”语音的音色（timbre）的，音色是区分说话人最有力的特征，尤其是在前深度学习时代。先直接给出求倒谱图的公式：
$$C[x(n)]=F^{-1}[log(|F[x(n)]{|}^2)]$$
其中$x(n)$是离散化的原始信号，$F[\cdot ]$是离散傅里叶变换，$log(|\cdot {|}^2)$对离散傅里叶变换的结果，先取幅值，再取平方，最后取对数，$F^{-1}[\cdot ]$是离散傅里叶逆变换。
下面是每一步的演示图：



最后逆变换得到的倒谱图，横坐标为倒频率（Quefrency，频率的倒数，单位是秒），纵坐标是振幅。

最后一张图中的所谓1st rhamonic，是从倒谱图的右边往左看的第一个尖峰，实际上，这个1st rhamonic对应原始信号的基频。

要理解本节的内容，需要有离散傅里叶变换和梅尔时频谱图的知识，可以参考深入理解傅里叶变换（三）和深入理解梅尔刻度、梅尔滤波器组和梅尔时频谱图。

为什么倒谱图能提取音色

需要了解人发声的原理：最初发出振动从而产生声音的物体，被称为声源，对于语音而言，声源就是人的声带。人的肺部排出气体，这些气体通过声门（glottis），从而使声带振动，此时的振动频率决定了音高（pitch），也就是基频，这些气体还需要通过声道（vocal tract）才能从人的口中离开，成为能听到的语音。

声道作为一种物理结构，具有共振频率，随着声道的形状和大小变化，共振频率会发生变化，共振频率的存在，使语音信号出现共振峰。

基频、共振峰和声强，对应声音的三要素音高、音色和响度。

那么倒谱图为什么能提取音色呢？我们想象最开始通过声门的气体，是一种信号，称为Glottal pulses，记为$h(t)$，声带和声道的作用等效为一个复杂的滤波器，记为$e(t)$，输出的语音信号是Glottal pulses被声道滤波后的信号，记为$x(t)$，注意，此时都是连续信号，那么存在下列等式：
$$x(t)=h(t)\ast e(t)$$
其中，$\ast$指卷积运算。离散化之后，再进行离散傅里叶变换，时域卷积等价于频域乘积：
$$X(n)=H(n)\cdot E(n)$$
接下来，先取幅值，再取平方，最后取对数：
$$log[|X(n){|}^2]=2log|H(n)|+2log|E(n)|$$
现在已经将语音信号，分解成两个信号的和了，如下图：

左下角是$2log|E(n)|$，右下角是$2log|H(n)|$，左下角实际上是语音信号的包络线，右下角是语音信号减去包络线之后的信号。其中，包络线有几个突起的峰（原本应该是尖峰，取对数之后平滑了），表征了基频和共振峰，是我们希望提取的信号。

最后一步是是用离散傅里叶逆变换，得到倒谱图。

MFCC

对于一段音频，MFCC的提取流程如下：

1. 对音频信号进行预加重，从而降低部分高频能量。这一步可以简单采用下式处理：
   $$x[n]=x[n]-\alpha x[n-1],0.9\le \alpha \le 1.0$$
2. 短时傅里叶变换
3. 梅尔滤波器滤波，得到梅尔时频谱图
4. 取对数，分离信号
5. 离散余弦变换
6. 选取倒谱系数

MFCC的提取过程改良了最后一步，把离散傅里叶逆变换，改成了离散余弦变换。

因为log-power spectrum的信号，可以视为两个信号的叠加，而我们要提取的基频和共振峰，可以视为叠加后的信号的低频部分。

所以MFCC将log-power spectrum视为一种时域信号，对其进行傅里叶分析，然后取前 $n_{mfcc}$ 个频率所对应的运算值，作为最后的MFCC特征。

此外，使用离散余弦变换有如下的好处：

• 是简化版的离散傅里叶变换
• 运算结果是实数，正是MFCC所需要的
• 解耦了不同梅尔滤波器组之间的重合权重，使提取出的特征更加相互独立，适用于机器学习
• 输入log-power spectrum，输出MFCC特征，起到了降维作用

MFCC的输出

• 通常选取前12个系数，再拼接一个当前frame的能量，共13个。

• 越靠前的系数，包含越多的基频和共振峰的信息。

• 取得13个系数后，还会在时序上，对13个系数求一阶差分和二阶差分，二阶差分等价于对一阶差分求一阶差分。一阶差分有后向差分、前向差分的区别，也可以对后向差分和前向差分求均值得到中心差分，中心差分误差最小：

  • 前向差分
    $$\Delta x[n]=x[n+1]-x[n]$$
  • 后向差分
    $$\Delta x[n]=x[n]-x[n-1]$$
  • 中心差分
    $$\Delta x[n]=\frac{x[n+1]-x[n-1]}{2}$$

  其中，$x[n]$表示第n帧的13个系数，将一阶差分和二阶差分与原函数值拼接起来，得到39个系数。

• MFCC的输出可以表示为一个二维数组，shape为$[n_{mfcc},frames]$，由于是二维数组，所以可以用热力图可视化。

MFCC的优缺点

优点

• 相比较梅尔时频谱图，以更少的数据量描述了时频谱图的信息，前者滤波器个数通常为80，MFCC特征个数通常为39
• 相比较梅尔时频谱图，特征之间的相关性更低，具有更好的区分性
• 能提取出表征基频和共振峰的信息，滤去其他无关信息
• 在基于GMM的声学模型中效果较好

缺点

• 相比较梅尔时频谱图，计算量更大，因为MFCC是在梅尔时频谱图的基础上得到的
• 对噪声，尤其是加性噪声，不够鲁棒
• 人工设计的痕迹太重，导致更大的经验风险
• 对语音合成无效，因为不存在从MFCC特征到音频信号的逆变换

演示

注意：librosa的MFCC提取算法，

• 默认没有将当前frame的能量作为第13个系数，可以自行求，然后拼接
• 此外，默认没有一阶差分和二阶差分，也可以自行求，然后拼接

下列代码就计算了一阶差分和二阶差分，然后拼接并可视化。

import librosa
import librosa.display
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

if "__main__" == __name__:
    filepath = r"20- Extracting MFCCs with Python\female_audio.wav"
    signal, sr = librosa.load(path=filepath, sr=16000)
    N_FFT = 512
    N_MELS = 80
    N_MFCC = 13

    mel_spec = librosa.feature.melspectrogram(y=signal,
                                              sr=sr,
                                              n_fft=N_FFT,
                                              hop_length=sr // 100,
                                              win_length=sr // 40,
                                              n_mels=N_MELS)
    mfcc = librosa.feature.mfcc(S=librosa.power_to_db(mel_spec), n_mfcc=N_MFCC)

    delta_mfcc = librosa.feature.delta(data=mfcc)
    delta2_mfcc = librosa.feature.delta(data=mfcc, order=2)
    mfcc = np.concatenate([mfcc, delta_mfcc, delta2_mfcc], axis=0)

    librosa.display.specshow(data=mfcc,
                             sr=sr,
                             n_fft=N_FFT,
                             hop_length=sr // 100,
                             win_length=sr // 40,
                             x_axis="s")
    plt.colorbar(format="%d")

    plt.show()

音频信号处理的知识非常广袤，本系列只讲解了用于机器学习的音频信号处理知识。