Math-tricks 关于rank-one矩阵可对角化的充要条件

关于rank-one矩阵可对角化的充要条件

首先，回顾一下可对角化的定义

另外，这里的幂零矩阵指的就算Jordan块肩上的部分（对角线元素为0），矩阵分析中已证明这种矩阵的幂次方等于0，当幂指数大于某一个值的时候。

根据这里的描述，
rank-one矩阵$A\text{A}A$可对角化 $\iff \mathrm{t}\mathrm{r}(A\text{A}A)\ne 0$

证明：
$\leftarrow$，显然 （还是多说一句，如果 $\iff \mathrm{t}\mathrm{r}(A\text{A}A)\ne 0$，说明特征值至少有一个不为0，而$A\text{A}A$是rank-one的，所以用Jordan标准型看，对角线元素只有一个非零值，且不存在rank>=2的Jordan块。即非对角线元素均为0，即，可对角化
$\to$, rank-one矩阵可分解为： $A\text{A}A=a\text{a}a{b\text{b}b}^H$, 若$A\text{A}A$ 可对角化，则对角线元素不全为0，注意到 $\mathrm{t}\mathrm{r}(A\text{A}A)=\mathrm{t}\mathrm{r}(a\text{a}a{b\text{b}b}^H)=\mathrm{t}\mathrm{r}({b\text{b}b}^{H}a\text{a}a)\ne 0$
其中 ${b\text{b}b}^{H}a\text{a}a$是一个复数，也可用反证法，若为0，则说明对角线元素全为0，与$A\text{A}A$可对角化矛盾