利用matlab实现DMD动态模态分解(在一维信号或二维流场矢量中的应用）

（2020年9月更新1，增加了第二章对于DMD模态排序的方法介绍。另外增加了一个注释：%旧版本matlab可以用右边形式替换Time_DMD=(b*ones(1,N)).*Q;。 由于旧版本中的 $.\ast$不支持向量和矩阵之间的操作，所以特此注释。如果代码中还有类似的报错，请参照前面提到的方法进行自行修改即可。）

0 前言

DMD的全称为Dynamic Mode Decomposition，译为动态模态分解，是一种常见的数据降维方法，本文主要是尝试利用matlab对DMD方法进行实现。
本文主要关注于算法的实现，对于实际应用等问题本人没有任何经验，所以也不再涉及。

本文只代表个人的理解，如果有描述不准确或者错误的地方，欢迎在评论区指正。

期间涉及到一些POD分解与SVD分解的相关知识，建议先阅读下面这篇文章（自引）：
【利用matlab实现POD分解(在一维信号或二维流场矢量中的应用）】

文章利用到的参考文献如下：
[1]Modal Analysis of Fluid Flows: An Overview（Kunihiko Taira、Steven L. Brunton等人）
[2]Dynamic Mode Decomposition: Data-Driven Modeling of Complex Systems（J. Nathan Kutz，Steven L. Brunton等人）

0.1 特征根的计算与含义

matlab中特征值和特征向量都可以用eig()函数进行计算。

[V,D] = eig(A)

其中V为特征向量组成的矩阵，D为特征根所组成的矩阵。A、V和D三个矩阵之间的关系为：A* V = V* D。
其中V的每一列都为一个特征向量，特征值对应的D矩阵中对角线上的相应列。

从线性变换的角度来看，矩阵的特征根和特征向量代表了变换的大小和方向。

当特征值为实数时，大于1代表变换的增长，小于1代表变换的缩小，特征向量代表变换的方向。以矩阵A=[0.95,-0.35;-0.35,0.95]为例，其特征值为0.6和1.3，特征向量的方向一个为45度，一个-45°。矩阵A对于随机点阵的效果如下所示。可以看到在经过矩阵A相乘后，随机点阵发生了变形，变形的方向就是特征向量的方向，变形的大小就是特征根的大小。大于1的方向拉长，小于1的方向缩短。

当特征值为复数时，则代表旋转。以A=[0.866,0.5;-0.5,0.866]为例，特征值为 cos30° ± sin30° * i ，每次乘以矩阵A代表旋转30度（当然我这里为了作图好看，通过调整特征向量把图形变为正圆，一般情况是一个椭圆）。

1 DMD的基本思路

DMD分解的基本思想就是线性变换。比如定义一个信号Utx，x为一维信号上每一点的数值，t为随时间变化下，整个信号的变化。时间采样点为N个，空间采样点为m个。Utx的转置矩阵为Uxt。
$$U_{tx}=\left[\begin{array}{cccc}u\left(t_1,x_1\right)& u\left(t_1,x_2\right)& \cdots & u\left(t_1,x_m\right)\\ u\left(t_2,x_1\right)& u\left(t_2,x_2\right)& \cdots & u\left(t_2,x_m\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ u\left(t_N,x_1\right)& u\left(t_N,x_2\right)& \cdots & u\left(t_N,x_m\right)\end{array}\right]$$
初始时刻t=1时，信号以列向量的形式可以记为Ux1：
$$U_{x1}=\left[\begin{array}{c}u\left(t_1,x_1\right)\\ u\left(t_1,x_2\right)\\ ⋮\\ u\left(t_1,x_m\right)\end{array}\right]$$
那么DMD方法认为，如果系统是一个线性系统，则我们可以找到一个矩阵A，使得：
$$\begin{gathered} U_{x2}=A\ast U_{x1} \\ {U}_{x3}=A\ast U_{x2}=A^2\ast U_{x1} \\ {U}_{x4}=A\ast U_{x3}=A^3\ast U_{x1} \end{gathered}$$
因此，我们只要知道初始的状态Ux1，以及系统的变换矩阵A，就可以知道系统之后任意时刻t的状态UxN。对于某些非线性系统，也可以找到一个近似的矩阵A，用来进行数据降维处理，然而效果肯定比线性系统的效果差。

因此，DMD分解的目的，就是把系统进行线性变换的分解。第k个时间步信号Uxk可以经过DMD分解变为
$$U_{x,k}=\sum _{i=1}^m{b}_i\cdot {\lambda }_i^k\cdot {\varphi }_i$$
其中b为初始值，$\lambda$为矩阵A的特征根，$\varphi$为对应的模态。
其中特征根可以利用衰减率$\mu$来替换：
$$\lambda =\exp (\mu \cdot \Delta t)$$
我们也可以把离散步k转换为时间t的形式：
$$U_{x,t}=\sum _{i=1}^m{b}_i\cdot e^{{\mu }_i\cdot t}\cdot {\varphi }_i$$

所以综上所述，我们只要知道矩阵A和初始时刻Ux1，就可以知道系统之后任意时刻的状态。同时根据矩阵A的特征值，还可以得到系统的增长率和变化频率。

我们设矩阵X为第1步至第N-1步组成的矩阵：
$$X=U_{x,t(1\cdots N-1)}=\left[\begin{array}{cccc}u\left(x_1,t_1\right)& u\left(x_1,t_2\right)& \cdots & u\left(x_1,t_{N-1}\right)\\ u\left(x_2,t_1\right)& u\left(x_2,t_2\right)& \cdots & u\left(x_2,t_{N-1}\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ u\left(x_m,t_1\right)& u\left(x_m,t_2\right)& \cdots & u\left(x_m,t_{N-1}\right)\end{array}\right]$$
我们设矩阵Y为第2步至第N步组成的矩阵：
$$Y=U_{x,t(2\cdots N)}=\left[\begin{array}{cccc}u\left(x_1,t_2\right)& u\left(x_1,t_3\right)& \cdots & u\left(x_1,t_N\right)\\ u\left(x_2,t_2\right)& u\left(x_2,t_3\right)& \cdots & u\left(x_2,t_N\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ u\left(x_m,t_2\right)& u\left(x_m,t_3\right)& \cdots & u\left(x_m,t_N\right)\end{array}\right]$$
因为
$$U_{x,N}=A\ast U_{x,N-1}$$
所以
$$Y=A\ast X$$
矩阵A可以计算得到，其中pinv(X)代表矩阵X的伪逆（广义逆）。
$$A=Y\ast pinv(X)$$
matlab演示如下：

%DMD实验2
clear
close all

x=0:0.01:5;m=length(x);
t=0:0.1:5;N=length(t);
Fs=1/(t(2)-t(1));
[X,T]=meshgrid(x,t);

%信号
U_tx=1.2*exp(-0.5*T).*sin(2*pi*(X+0*T))+0.8*exp(0.3*T).*sin(2*pi*(3*X+4*T));
%p的格式为时间*空间的矩阵
U_xt=U_tx';
Up=pinv(U_xt(:,1:50));%求解X的伪逆
%求解矩阵A
A=U_xt(:,2:51)*Up;

[V,D] = eig(A);
D=diag(D);
[~,ind] = sort(abs(D),'descend');
D=D(ind);V=V(:,ind);
D_abs=abs(D);
Dd=D./D_abs;
%频率
f=Fs*angle(Dd)./(2*pi);

%图1，绘制特征根图谱
figure(1)
scatter(real(Dd(100:-1:1)),imag(Dd(100:-1:1)),30,-abs(D(100:-1:1)),'filled')
axis equal
box on

%图2，绘制频率和衰减图
figure(2)
wa=log(D)*Fs;%利用特征根计算衰减率
scatter(real(wa),imag(wa)/2/pi,30,-D_abs,'filled')
xlabel('衰减率σ');ylabel('频率w')
ylim([-6,6]);xlim([-1,1])
hold on
plot([0,0],ylim,'b--')
plot(xlim,[0,0],'b--')
box on

信号为：
$$U(T,X)=1.2\cdot e^{-0.5T}\sin (2\pi X)+0.8\cdot e^{0.3T}\sin (2\pi (3X+4T))$$
矩阵A的特征根分布以及前3阶模态的衰减率如下。第一个模态衰减率为-0.5，频率为0。第二个和第3个模态（可以视为一对）衰减率为0.3，频率为4hz。希望可以用这个例子更好的去理解第0.1节和第1节中，矩阵A的特征值与衰减率、频率等之间的关系。

2 一维DMD算法

第1节虽然介绍了如何求解矩阵A，但是利用伪逆方法计算在计算量和结果稳定性上都有缺点，因此第1节的结果只是作为辅助理解DMD的基本思路。

之后介绍通用的DMD程序算法：

1. 第1步，定义矩阵X和矩阵Y：
   我们设矩阵X为第1步至第N-1步组成的矩阵：
   $$X=U_{x,t(1\cdots N-1)}=\left[\begin{array}{cccc}u\left(x_1,t_1\right)& u\left(x_1,t_2\right)& \cdots & u\left(x_1,t_{N-1}\right)\\ u\left(x_2,t_1\right)& u\left(x_2,t_2\right)& \cdots & u\left(x_2,t_{N-1}\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ u\left(x_m,t_1\right)& u\left(x_m,t_2\right)& \cdots & u\left(x_m,t_{N-1}\right)\end{array}\right]$$
   我们设矩阵Y为第2步至第N步组成的矩阵：
   $$Y=U_{x,t(2\cdots N)}=\left[\begin{array}{cccc}u\left(x_1,t_2\right)& u\left(x_1,t_3\right)& \cdots & u\left(x_1,t_N\right)\\ u\left(x_2,t_2\right)& u\left(x_2,t_3\right)& \cdots & u\left(x_2,t_N\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ u\left(x_m,t_2\right)& u\left(x_m,t_3\right)& \cdots & u\left(x_m,t_N\right)\end{array}\right]$$

2. 第2步，对矩阵X进行svd分解
   $$\left[U,S,V\right]=\text{svd}\left(X\right)$$

3. 第3步，计算矩阵A
   $$A=U^{\prime }\ast Y\ast V\ast S^{-1};$$

4. 第4步，计算矩阵A的特征向量w和特征值$\lambda$
   $$[\omega ,\lambda ]=\text{eig}\left(A\right)$$

5. 第5步，计算DMD模态
   这里模态$\varphi$可以用：
   $$\varphi =U\ast \omega$$
   也有文献认为上面式子只用到了X的信息，没有用到Y的信息，所以把公式改进为：
   $$\varphi =Y\ast V\ast S^{-1}\ast \omega$$

6. 第6步，计算DMD模态对应的初始值b。第一步等价于信号的初始值Ux1。
   $$\varphi \ast b=U_{x1}$$

7. 第7步，对DMD模态进行排序。
   这里可以直接利用第6步中提到的初始值进行排序。这种排序的优点是计算量小。但是考虑到信号会增长或衰减，所以这种排序的缺点是，容易把初始值特别大，但是衰减很快的模态（可能是噪声）放在前面，或者忽略初始值比较小，但是增长很快的信号。

   因此，还可以用信号的能量对模态进行排序。模态的能量被定义为，每一时刻、每一点振幅的平方和。每一时刻的的信号等于初始信号乘以特征值，可以计算为：
   $$U_{xk}=U_{x1}\ast {\lambda }^{k-1}=\varphi \ast b\ast {\lambda }^{k-1}$$
   对于不同的模态，不同时间，我们可以利用范德蒙矩阵来储存特征值的变化，总共有m个特征值：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& {\lambda }_1^1& \cdots & {\lambda }_1^{N-1}\\ 1& {\lambda }_2^1& \cdots & {\lambda }_2^{N-1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\lambda }_m^1& \cdots & {\lambda }_m^{N-1}\end{array}\right]$$
   需要求第r个模态随时间变化的话，只需要提出范德蒙矩阵的一部分，然后利用下面公式进行求解即可。${\lambda }_r$是第r个模态对应的特征根。
   $${\varphi }_r\ast b_r\ast \left[\begin{array}{cccc}1& {\lambda }_r^1& \cdots & {\lambda }_r^{N-1}\end{array}\right]$$
   之后得到了这个模态下，每一时刻每一位置组成的时间-空间矩阵。对矩阵每一个元素做平方，然后相加，定义为这个模态在整个时间段内的总能量。

之后，便是一些后处理，比如特征根分布图，各个模态的信号图，模态的衰减率和频率图，各个模态的频率-能量（振幅）图，等等。

matlab代码如下：

%一维信号DMD分解示意程序
clear
close all

x=0:0.01:5;m=length(x);%空间
t=0:0.05:5;N=length(t);%时间
Fs=1/(t(2)-t(1));%采样频率
[X,T]=meshgrid(x,t);

%创建信号,Utx的格式为时间*空间的矩阵
U_tx=1.2*exp(-0.5*T).*sin(2*pi*(X+2*T))+0.8*exp(0.3*T).*sin(2*pi*(3*X+4*T))+0.1*rand(N,m)+1.1;

%计算X和Y
U_xt=U_tx';
X=U_xt(:,1:end-1);
Y=U_xt(:,2:end);
%计算DMD
[Dd,b,Phi,Time_DMD,Energy]=DMD_CLASS(X,Y);

%之后全部是后处理
figure(1)
%图1，输出特征根分布
scatter(real(Dd(end:-1:1)),imag(Dd(end:-1:1)),30,-log(Energy(end:-1:1)),'filled')
axis equal
set(gcf,'position',[488   342   400   350])

figure(2)
%图2，绘制频率和衰减图
wa=log(Dd)*Fs;
scatter(real(wa(end:-1:1)),imag(wa(end:-1:1))/2/pi,30,-log(Energy(end:-1:1)),'filled')
xlabel('衰减率σ');ylabel('频率w')
ylim([-6,6]);xlim([-1,1])
hold on
plot([0,0],ylim,'b--')
plot(xlim,[0,0],'b--')
hold off
box on
set(gcf,'position',[488   342   400   350])

figure(3)
%图3，绘制频率-能量排序
Freq=imag(wa)/2/pi;
k=find(Freq>=0);
stem(Freq(k),log10(Energy(k)),'BaseValue',-6,'MarkerFaceColor','auto');
ylim([-6,6]);
xlim([-1,11])
set(gca,'YTickLabel',{'1e-6','1e-4','1e-2','0','1e2','1e4','1e6'},'YTick',[-6:2:6])
set(gca,'XTick',[0:2:10])
xlabel('频率hz');ylabel('能量')

figure(4)
%绘制模态
subplot(3,2,1)%总
U_x1=U_xt(:,1);
plot(x,U_x1);
xlim([0,5])
subplot(3,2,2)%一阶模态
Uxt_DMD_k=real(Phi(:,1) * Time_DMD(1,:));
plot(x,Uxt_DMD_k(:,1));
ylim([0,3]);xlim([0,5])
subplot(3,2,3)%二阶模态
Uxt_DMD_k=real(Phi(:,2) * Time_DMD(2,:));
plot(x,Uxt_DMD_k(:,1));
xlim([0,5])
subplot(3,2,4)%三阶模态
Uxt_DMD_k=real(Phi(:,3) * Time_DMD(3,:));
plot(x,Uxt_DMD_k(:,1));
xlim([0,5])
subplot(3,2,5)%四阶模态
Uxt_DMD_k=real(Phi(:,4) * Time_DMD(4,:));
plot(x,Uxt_DMD_k(:,1));
xlim([0,5])
subplot(3,2,6)%五阶模态
Uxt_DMD_k=real(Phi(:,5) * Time_DMD(5,:));
plot(x,Uxt_DMD_k(:,1));
xlim([0,5])

figure(5)
%绘制前10阶模态能量占比
Cumsum_Energy=cumsum(Energy);
subplot(2,1,1)
bar( 1:10 , Cumsum_Energy(1:10)/Cumsum_Energy(end) ,'BarWidth',1)
ylim([0,1]);
subplot(2,1,2)
plot( 1:10 , Energy(1:10)/Cumsum_Energy(end) ,'-o')
ylim([0,1]);

figure(6)
%还原信号与原信号对比(利用前5阶模态还原)
Uxt_DMD_k=real(Phi(:,1:5) * Time_DMD(1:5,:));
plot(x,U_xt(:,1),x,Uxt_DMD_k(:,1))

function [Dd,b,Phi,Time_DMD,Energy]=DMD_CLASS(X,Y)
%DMD分解函数
%输入：
%X，Y，DMD分解的数据矩阵
%
%输出：
%Dd，特征根
%b，初始状态
%Phi，DMD分解的模态
%Time_DMD，DMD还原信号所用到的时间项
%Energy，每个模态对应的能量，从大到小排序

N=size(X,2);
%1 SVD分解
[U,S,V] = svd(X,'econ');
%删除奇异值约等于0的模态，防止计算发散
Sd=diag(S);
r=sum(Sd>1e-6);
U=U(:,1:r);
S=S(1:r,1:r);
V=V(:,1:r);
%2 求解矩阵A
A=U'*(Y*V/S);
%3 求矩阵A的特征值和特征向量
[Om,D]=eig(A);
Dd=diag(D);%求特征值转为向量形式
%4 求DMD模态
Phi=Y*V/S*Om;
%5 求解初始状态b
b=Phi\X(:,1);
%6 对模态进行排序
Q=Dd.^(0:N-1);%计算出范德蒙矩阵
Time_DMD=b.*Q;%旧版本matlab可以用右边形式替换Time_DMD=(b*ones(1,N)).*Q;

% %对信号初始振幅排序，速度快，输出能量可以近似用振幅平方代替
% [b,Ib] = sort(abs(b),'descend');
%求出所有模态的信号，并计算能量
Energy=zeros(size(Phi,2),1);
for k=1:size(Phi,2)
Uxt_DMD_k=real(Phi(:,k) * Time_DMD(k,:));
E_k=sum(sum(Uxt_DMD_k.^2));
Energy(k)=E_k;
end
[Energy,Ie] = sort(Energy,'descend');%对每个模态的能量进行排序
%按顺序输出特征值、初始状态b、模态Phi
Dd=Dd(Ie);
b=b(Ie);
Phi=Phi(:,Ie);
Time_DMD=Time_DMD(Ie,:);
end

输入信号为：
$$U(T,X)=1.2\cdot e^{-0.5T}\sin (2\pi (X+2T))+0.8\cdot e^{0.3T}\sin (2\pi (3X+4T))+1.1+noise$$
第一个信号空间频率1hz，时间频率为2hz，衰减率-0.5。第二个信号空间频率3hz，时间频率4hz，衰减率0.3。此外还加上了常数为1.1，加入了振幅为0.1的噪声。

特征根分布基本在一个圆上。其中，能量大的模态颜色深，能量小的模态颜色浅。
衰减率和频率图上，可以清晰的看到前5阶模态对应的位置，其中坐标原点上的是常数项，剩下4个点分别对应为4hz和2hz。
频率-能量图上，可以看到不同频率下信号的能量大小，其中0hz、2hz、4hz三个信号占比最大，对应了原始信号的输入。
能量占比上，上面的图可以看到前5阶信号能量几乎占到了100%，下面的图则展示了每一模态的能量。

之后，展示了每一阶模态的形态，可以看到DMD方法成功的将原本的混合信号，分离为各个模态。

将前5阶模态叠加，可以看到原始数据只用前5阶模态，便能较好的还原，实现了数据压缩。虽然与原始信号有一定差异，但这是加入了随机高频噪声导致的。

3 二维DMD算法

与一维DMD算法一样，把二维信号中的空间维度压缩为一个维度，然后再调用一维DMD算法即可。（这属于时间分解。还有一些地方用到了空间分解，不是沿着时间t维度分解，而是沿着空间维度进行分解，这里只是提及，不再进行尝试了。）

matlab算法如下：

%自己试一试DMD
clear
close all

%定义流场时间和空间信息
x=-8:0.2:8;
y=-5:0.2:5;
t=0:0.05:6;
Fs=1/(t(2)-t(1));
[X,Y,T]=meshgrid(x,y,t);
[Ny,Nx,Nt]=size(X);

%自定义流场,U是沿x方向的速度分量，V是y方向的
U0=-1*Y.^2+5;
V0=0*Y;%UV0不随时间变化，设为定常流场
U1=-5*sin(Y).*cos(2*pi*0.3*Y).*(exp(T/5));
V1=5*sin(X-1*pi*T).*cos(2*pi*0.3*Y).*(exp(T/5));
U3=0.01*rand(Ny,Nx,Nt);
V3=0.01*rand(Ny,Nx,Nt);

U_Sum=U0+U1+U3;
V_Sum=V0+V1+V3;

%1计算UV向量
U_xt=Uxyt_to_Uxt(U_Sum);%把2维问题转化为1维问题
V_xt=Uxyt_to_Uxt(V_Sum);%把2维问题转化为1维问题
%然后把UV向量合并
UV_xt=[U_xt;V_xt];
%之前的这些都属于数据准备和整理部分


%计算X和Y
UX=UV_xt(:,1:end-1);
UY=UV_xt(:,2:end);
%计算DMD
[Dd,b,Phi,Time_DMD,Energy]=DMD_CLASS(UX,UY);

%后处理
figure(1)
%图1，绘制频率和衰减图
wa=log(Dd)*Fs;
scatter(real(wa(end:-1:1)),imag(wa(end:-1:1))/2/pi,30,-log(Energy(end:-1:1)),'filled')
xlabel('衰减率');ylabel('频率')
ylim([-6,6]);xlim([-1,1])
hold on
plot([0,0],ylim,'b--')
plot(xlim,[0,0],'b--')
hold off
box on
set(gcf,'position',[488   342   400   350])

figure(2)
%图3，绘制频率-能量排序
Freq=imag(wa)/2/pi;
k=find(Freq>=0);
stem(Freq(k),log10(Energy(k)),'BaseValue',-4,'MarkerFaceColor','auto');
ylim([-4,8]);
xlim([-1,11])
set(gca,'YTickLabel',{'1e-4','1e-2','0','1e2','1e4','1e6','1e8'},'YTick',[-4:2:8])
set(gca,'XTick',[0:2:10])
xlabel('频率hz');ylabel('能量')

figure(3)
%绘制前10阶模态能量占比
Cumsum_Energy=cumsum(Energy);
subplot(2,1,1)
bar( 1:10 , Cumsum_Energy(1:10)/Cumsum_Energy(end) ,'BarWidth',1)
ylim([0,1]);
subplot(2,1,2)
plot( 1:10 , Energy(1:10)/Cumsum_Energy(end) ,'-o')
ylim([0,1]);



figure(4)
X=X(:,:,1);
Y=Y(:,:,1);

k=1;
%绘制模态
subplot(2,2,1)%总
[Uxy0,Vxy0]=UV2UxyVxy(UV_xt(:,k),Ny,Nx);
hold on
pcolor(X,Y,curl(X,Y,Uxy0,Vxy0));shading interp
quiver(X(1:5:end,1:5:end),Y(1:5:end,1:5:end),Uxy0(1:5:end,1:5:end),Vxy0(1:5:end,1:5:end),'color','k')
hold off
axis equal off
title('总')

subplot(2,2,2)%1
UVxt_DMD_k=real(Phi(:,1) * Time_DMD(1,:));
[Uxyk,Vxyk]=UV2UxyVxy(UVxt_DMD_k(:,k),Ny,Nx);
hold on
pcolor(X,Y,curl(X,Y,Uxyk,Vxyk));shading interp
quiver(X(1:5:end,1:5:end),Y(1:5:end,1:5:end),Uxyk(1:5:end,1:5:end),Vxyk(1:5:end,1:5:end),'color','k')
hold off
axis equal off
title('1阶')

subplot(2,2,3)%2
UVxt_DMD_k=real(Phi(:,2) * Time_DMD(2,:));
[Uxyk,Vxyk]=UV2UxyVxy(UVxt_DMD_k(:,k),Ny,Nx);
hold on
pcolor(X,Y,curl(X,Y,Uxyk,Vxyk));shading interp
quiver(X(1:5:end,1:5:end),Y(1:5:end,1:5:end),Uxyk(1:5:end,1:5:end),Vxyk(1:5:end,1:5:end),'color','k')
hold off
axis equal off
title('2阶')

subplot(2,2,4)%3&4
UVxt_DMD_k=real(Phi(:,3) * Time_DMD(3,:));
[Uxy3,Vxy3]=UV2UxyVxy(UVxt_DMD_k(:,k),Ny,Nx);
UVxt_DMD_k=real(Phi(:,4) * Time_DMD(4,:));
[Uxy4,Vxy4]=UV2UxyVxy(UVxt_DMD_k(:,k),Ny,Nx);
Uxyk=Uxy3+Uxy4;
Vxyk=Vxy3+Vxy4;
hold on
pcolor(X,Y,curl(X,Y,Uxyk,Vxyk));shading interp
quiver(X(1:5:end,1:5:end),Y(1:5:end,1:5:end),Uxyk(1:5:end,1:5:end),Vxyk(1:5:end,1:5:end),'color','k')
hold off
axis equal off
title('3+4阶')




function [Dd,b,Phi,Time_DMD,Energy]=DMD_CLASS(X,Y)
%DMD分解函数
%输入：
%X，Y，DMD分解的数据矩阵
%
%输出：
%Dd，特征根
%b，初始状态
%Phi，DMD分解的模态
%Time_DMD，DMD还原信号所用到的时间项
%Energy，每个模态对应的能量，从大到小排序

N=size(X,2);
%1 SVD分解
[U,S,V] = svd(X,'econ');
%删除奇异值约等于0的模态，防止计算发散
Sd=diag(S);
r=sum(Sd>1e-6);
U=U(:,1:r);
S=S(1:r,1:r);
V=V(:,1:r);
%2 求解矩阵A
A=U'*(Y*V/S);
%3 求矩阵A的特征值和特征向量
[Om,D]=eig(A);
%4 求DMD模态
Phi=Y*V/S*Om;

Dd=diag(D);%求特征值转为向量形式

%5 求解初始状态b
b=Phi\X(:,1);

Q=Dd.^(0:N-1);%计算出范德蒙矩阵
Time_DMD=b.*Q;%旧版本matlab可以用右边形式替换Time_DMD=(b*ones(1,N)).*Q;


% %对信号初始振幅排序，速度快
% [~,Ib] = sort(abs(b),'descend');
%求出所有模态的信号，并计算能量
Energy=zeros(size(Phi,2),1);
for k=1:size(Phi,2)
Uxt_DMD_k=real(Phi(:,k) * Time_DMD(k,:));
E_k=sum(sum(Uxt_DMD_k.^2));
Energy(k)=E_k;
end
[Energy,Ie] = sort(Energy,'descend');%对每个模态的能量进行排序
%按顺序输出特征值、初始状态b、模态Phi
Dd=Dd(Ie);
b=b(Ie);
Phi=Phi(:,Ie);
Time_DMD=Time_DMD(Ie,:);
end

function Uxt=Uxyt_to_Uxt(Uxyt)
%把3维矩阵的xyt压缩为xt
[Ny,Nx,Nt]=size(Uxyt);%这里是matlab的meshgrid定义导致的，x和y是反着的，注意。
Nxy=Ny*Nx;
Uxt=reshape(Uxyt,Nxy,Nt);
end

function [Uxy,Vxy]=UV2UxyVxy(UVx,Ny,Nx)
Ux=UVx(1:Ny*Nx);
Vx=UVx(Ny*Nx+1:end);
Uxy=reshape(Ux,Ny,Nx);
Vxy=reshape(Vx,Ny,Nx);
end

计算的结果如下：

可以从图中读出，流场可以分解为一个恒定场，一个衰减率0.2的恒定场，和一对0.2的衰减率，和0.5hz的频率运动的场组成。这4个模态占据了整个流场接近100%的能量。

分解的模态如下图所示（GIf选取的循环时间比较短，所以看不出明显的衰减行为）。

4 总结

DMD算法属于数据驱动算法，输入的量只有数据，不依赖于其它因素。而且对于线性系统，DMD可以分离出不同频率与衰减率的模态，而且还可以预测线性系统未来的变化，这是POD无法比拟的。当然，DMD的优势在于线性系统，对于非线性系统（不满足Y=AX），DMD的结论可信度就会下降，或者说只能给出类似于线性的近似结果。

但是由于其思想的限制，DMD算法对数据的排序非常敏感，如果颠倒顺序或者缺少数据，就无法得到正确的变换矩阵A。所以和POD相比，DMD只能用在采样频率比较高的数据上，而且对数据的连续性、采样频率的恒定性等方面有很高的要求。而且与POD相比，DMD对噪声也更为敏感。为了克服这些缺点，DMD也衍生出很多变体，有兴趣的话可以自己去查文献。